परिणाम

त्रिभुज का क्षेत्रफल

26.83

वर्ग इकाइयाँ

अर्ध-परिमाप (s)	12
परिमाप	24

विषमबाहु त्रिभुज क्या होता है?

विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle) वह त्रिभुज होता है जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, और इसी वजह से उसके तीनों आंतरिक कोण भी एक-दूसरे से भिन्न होते हैं। चूँकि कोई भी भुजा या कोण बराबर नहीं होता, इसलिए आप आधार × ऊँचाई ÷ 2 वाले आसान शॉर्टकट का इस्तेमाल तब तक नहीं कर सकते जब तक आपको आधार और उसकी लंबवत ऊँचाई दोनों पता न हों। जब आपके पास सिर्फ़ तीनों भुजाओं की लंबाई हो, तो क्षेत्रफल निकालने का सबसे साफ़-सुथरा तरीका हेरोन का सूत्र है — और यह कैलकुलेटर यह काम आपके लिए पलक झपकते कर देता है।

विषमबाहु त्रिभुज जिसकी तीन भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की हैं और a, b, c नामांकित हैं — एक विषमबाहु त्रिभुज की तीन भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं, जिन्हें a, b और c नाम दिया गया है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

तीनों भुजाओं $a$, $b$ और $c$ की लंबाई किसी एक ही इकाई (सेमी, मीटर, इंच आदि) में दर्ज करें। कैलकुलेटर सबसे पहले त्रिभुज असमानता (triangle inequality) की जाँच करता है — किन्हीं भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए — ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि त्रिभुज वैध है। इसके बाद यह अर्ध-परिमाप निकालकर हेरोन का सूत्र लागू करता है। परिणाम के रूप में आपको वर्ग इकाइयों में क्षेत्रफल मिलता है, साथ ही संदर्भ के लिए परिमाप और अर्ध-परिमाप भी।

सूत्र की व्याख्या

हेरोन का सूत्र सीधे भुजाओं की लंबाई से क्षेत्रफल निकाल देता है। पहले अर्ध-परिमाप ज्ञात करें:

$$s = \frac{a + b + c}{2}$$

इसके बाद क्षेत्रफल होगा

$$A = \sqrt{s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)}$$

यह सूत्र हर प्रकार के त्रिभुज पर काम करता है — चाहे वह विषमबाहु हो, समद्विबाहु हो या समबाहु — इसलिए जब भी तीनों भुजाएँ पता हों लेकिन ऊँचाई न पता हो, यह एक बेहद उपयोगी औज़ार है।

त्रिभुज जिसमें भुजाएँ a, b, c और अर्ध-परिमाप संबंध दर्शाया गया है — हेरोन का सूत्र अर्ध-परिमाप $s$ का उपयोग करता है, जो तीनों भुजाओं के योग का आधा होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए किसी त्रिभुज की भुजाएँ $a = 7$, $b = 8$ और $c = 9$ हैं। तब अर्ध-परिमाप

$$s = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12$$

होगा। फिर क्षेत्रफल

$$A = \sqrt{12 \times (12-7) \times (12-8) \times (12-9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26.83$$

वर्ग इकाइयाँ।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या यह सिर्फ़ विषमबाहु त्रिभुजों के लिए ही काम करता है? नहीं — हेरोन का सूत्र हर वैध त्रिभुज पर काम करता है। यह बस विषमबाहु त्रिभुजों के लिए सबसे ज़्यादा उपयोगी है, जहाँ कोई आसान शॉर्टकट नहीं चलता।

अगर भुजाएँ त्रिभुज ही न बनाएँ तो क्या होगा? अगर सबसे लंबी भुजा बाकी दोनों भुजाओं के योग के बराबर या उससे बड़ी है, तो त्रिभुज असमानता विफल हो जाती है और क्षेत्रफल 0 दिखाया जाता है, क्योंकि ऐसा कोई त्रिभुज बन ही नहीं सकता।

उत्तर किस इकाई में आता है? क्षेत्रफल उसी लंबाई इकाई की वर्ग इकाई में आता है जो आपने दर्ज की थी। यानी अगर आपने सेंटीमीटर इस्तेमाल किया है, तो क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में होगा।

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