ऊँचाई के बिना त्रिभुज क्षेत्रफल कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

भुजा a

भुजा b

भुजा c

परिणाम

त्रिभुज का क्षेत्रफल (हीरोन सूत्र)

6

वर्ग इकाई

अर्ध-परिमाप (s)	6
परिमाप	12

यह क्या है

यह कैलकुलेटर किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल तब निकाल देता है जब आपको सिर्फ़ उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई पता हो — न ऊँचाई की ज़रूरत, न किसी कोण की। यह हीरोन सूत्र (Heron's Formula) का इस्तेमाल करता है, जो एक प्राचीन गणितीय परिणाम है और \(a\), \(b\) तथा \(c\) से सीधे क्षेत्रफल निकालने की सुविधा देता है।

हीरोन के सूत्र के लिए केवल तीन भुजाओं की लंबाई a, b और c चाहिए।

सूत्र

सबसे पहले अर्ध-परिमाप \(s\) निकालिए, जो त्रिभुज के परिमाप का आधा होता है:

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$

इसके बाद क्षेत्रफल \(A\) हीरोन सूत्र से मिलता है, जहाँ \(a\), \(b\), \(c\) भुजाओं की लंबाई हैं:

$$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

तीनों भुजाओं को त्रिभुज असमानता (triangle inequality) का पालन करना चाहिए — यानी हर भुजा बाक़ी दोनों के योग से छोटी हो — वरना कोई वास्तविक त्रिभुज बन ही नहीं सकता।

ऊँचाई की ज़रूरत नहीं — क्षेत्रफल अर्ध-परिमाप s के ज़रिए सीधे परिमाप से मिलता है।

इसका उपयोग कैसे करें

तीनों भुजाओं की लंबाई एक ही इकाई (cm, m, ft आदि) में डालिए। परिणाम उसी लंबाई इकाई के वर्ग में मिलेगा। यह टूल अर्ध-परिमाप और कुल परिमाप भी दिखाता है।

हल किया हुआ उदाहरण

एक 3-4-5 समकोण त्रिभुज के लिए अर्ध-परिमाप होगा:

$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$

फिर:

$$A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$

तो क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है, जो \(\tfrac{1}{2}\times 3 \times 4 = 6\) से बिल्कुल मेल खाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या मुझे ऊँचाई की ज़रूरत है? नहीं — हीरोन सूत्र की ख़ासियत ही यही है। सिर्फ़ तीनों भुजाएँ चाहिए।

अगर एरर या शून्य आ रहा है तो? तब आपकी भुजाएँ शायद त्रिभुज असमानता का उल्लंघन कर रही हैं (जैसे 1, 2, 5)। अपनी माप दोबारा जाँचिए।

क्या यह हर तरह के त्रिभुज पर काम करता है? हाँ — विषमबाहु, समद्विबाहु, समबाहु और समकोण, सभी त्रिभुजों पर यह काम करता है।