परिणाम

त्रिभुज का क्षेत्रफल

वर्ग इकाई

अर्ध-परिमाप (s)	6
परिमाप	12

हीरोन सूत्र क्या है?

हीरोन सूत्र की मदद से आप किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल तब निकाल सकते हैं जब आपको उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई पता हो — इसके लिए ऊँचाई या किसी कोण की ज़रूरत नहीं पड़ती। इसका नाम अलेक्ज़ांड्रिया के गणितज्ञ हीरोन के नाम पर रखा गया है, और यह शास्त्रीय ज्यामिति के सबसे सुंदर परिणामों में से एक है। भूमि-मापन (सर्वेक्षण), निर्माण कार्य और ऐसी हर स्थिति में यह बेहद काम आता है जहाँ ऊँचाई नापना मुश्किल हो।

तीन भुजाओं a, b और c वाला त्रिभुज — हीरोन का सूत्र किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी तीन भुजाओं a, b और c से ज्ञात करता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

तीनों भुजाओं की लंबाई a, b और c एक ही इकाई में दर्ज करें (सेमी, मीटर, इंच आदि — पर सभी एक जैसी हों)। कैलकुलेटर पहले अर्ध-परिमाप निकालता है, फिर त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में और उसका परिमाप दिखाता है। अगर दी गई संख्याओं से कोई वास्तविक त्रिभुज नहीं बन सकता, तो आपको चेतावनी मिल जाएगी।

सूत्र की पूरी समझ

सबसे पहले अर्ध-परिमाप निकालें: $s = (a + b + c) / 2$। इसके बाद क्षेत्रफल होगा:

$$A = \sqrt{s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)}$$

वर्गमूल के अंदर का मान केवल तभी धनात्मक होता है जब तीनों भुजाएँ त्रिभुज असमानता को पूरा करती हों (हर भुजा बाकी दो भुजाओं के योग से छोटी हो) — और ठीक यही स्थिति किसी वैध त्रिभुज के अस्तित्व को दर्शाती है।

अर्ध-परिमाप को त्रिभुज के परिमाप के आधे के रूप में दर्शाता आरेख — अर्ध-परिमाप s तीनों भुजाओं के योग का आधा होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए किसी त्रिभुज की भुजाएँ $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$ हैं: तो अर्ध-परिमाप होगा

$$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$$

अब

$$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$

वर्ग इकाई। (यह तो वही जाना-पहचाना 3-4-5 समकोण त्रिभुज है, जिसका क्षेत्रफल $\tfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ के बराबर भी आता है।)

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या मुझे कोणों की ज़रूरत है? नहीं — हीरोन सूत्र में केवल तीनों भुजाओं की लंबाई का उपयोग होता है।

क्षेत्रफल किस इकाई में आता है? आप भुजाएँ जिस इकाई में डालेंगे, उसी का वर्ग। अगर भुजाएँ मीटर में हैं, तो क्षेत्रफल वर्ग मीटर में आएगा।

मुझे "वैध त्रिभुज नहीं" वाला संदेश क्यों मिलता है? अगर कोई भुजा शून्य, ऋणात्मक, या बाकी दो भुजाओं के योग से ज़्यादा है, तो कोई वास्तविक त्रिभुज नहीं बन सकता और क्षेत्रफल अपरिभाषित रहता है।

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