द्विघात सूत्र कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

गुणांक a:

गुणांक b:

गुणांक c:

परिणाम

Quadratic equation: ax² + bx + c = 0

One real root:

x = -0.5

यह कैलकुलेटर क्या करता है

द्विघात सूत्र कैलकुलेटर मानक रूप \(ax^2 + bx + c = 0\) में लिखे किसी भी द्विघात समीकरण को हल कर देता है। आप तीनों गुणांक डालते हैं और यह टूल समीकरण के मूल (हल) लौटा देता है। सबसे खास बात यह है कि यह तीनों संभावित स्थितियों को अपने आप संभाल लेता है: दो अलग-अलग वास्तविक मूल, एक दोहराया हुआ वास्तविक मूल, या दो सम्मिश्र (काल्पनिक) मूल। आपको पहले से यह तय करने की ज़रूरत नहीं कि कौन-सी स्थिति लागू होगी — कैलकुलेटर आपके लिए विविक्तकर (डिस्क्रिमिनेंट) की जाँच कर लेता है।

आपको क्या-क्या डालना है

• गुणांक a — \(x^2\) के साथ गुणा होने वाली संख्या (यह 0 नहीं होनी चाहिए, वरना समीकरण द्विघात नहीं रहता)।
• गुणांक b — \(x\) के साथ गुणा होने वाली संख्या।
• गुणांक c — अचर पद (constant term)।

तीनों मान धनात्मक, ऋणात्मक, पूर्ण संख्या या दशमलव हो सकते हैं। कैलकुलेटर परिणाम को साफ-सुथरा दिखाता है, इसलिए पूर्ण संख्या वाले उत्तर बिना अंत में ".0" लगे दिखते हैं।

सूत्र की पूरी समझ

परिणाम प्रसिद्ध द्विघात सूत्र से निकलता है:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

वर्गमूल के नीचे का व्यंजक, \(b^2 - 4ac\), विविक्तकर (discriminant) कहलाता है, और यही तय करता है कि उत्तर किस प्रकार का होगा:

• विविक्तकर > 0: दो अलग-अलग वास्तविक मूल।
• विविक्तकर = 0: एक वास्तविक मूल, जो \(-b / 2a\) के बराबर होता है।
• विविक्तकर < 0: दो सम्मिश्र मूल, जिन्हें एक वास्तविक भाग (\(-b / 2a\)) तथा उसके साथ धन या ऋण में एक काल्पनिक भाग (\(\sqrt{-\text{विविक्तकर}} / 2a\)) के रूप में "i" लगाकर लिखा जाता है।

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द्विघात सूत्र और इसका विविक्तकर \(b^2 - 4ac\), जो मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\)। तब विविक्तकर होगा $$(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1,$$ जो धनात्मक है, इसलिए दो वास्तविक मूल मिलते हैं:

• $$x = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \mathbf{2}$$
• $$x = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \mathbf{1}$$

वहीं \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = 1\) के लिए विविक्तकर \(0 - 4 = -4\) (ऋणात्मक) होता है, जिससे सम्मिश्र मूल \(0 + 1i\) और \(0 - 1i\) मिलते हैं।

विविक्तकर का चिह्न परवलय के दो, एक या शून्य वास्तविक x-अंतःखंडों से कैसे संबंधित है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर मैं गुणांक a में 0 डाल दूँ तो क्या होगा? तब समीकरण द्विघात नहीं रहता, और \(2a\) (जो 0 हो जाता है) से भाग देने पर परिणाम अपरिभाषित हो जाता है। a के लिए हमेशा शून्य से अलग मान ही इस्तेमाल करें।

कभी-कभी सम्मिश्र मूल क्यों मिलते हैं? जब विविक्तकर ऋणात्मक होता है, तो परवलय x-अक्ष को कहीं नहीं काटता, इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं होता — सिर्फ़ सम्मिश्र हल होते हैं, जिन्हें काल्पनिक इकाई "i" के साथ लिखा जाता है।

क्या मैं दशमलव गुणांक इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ। कैलकुलेटर दशमलव और ऋणात्मक संख्याएँ दोनों स्वीकार करता है, पूर्ण संख्याओं को साफ-सुथरा दिखाता है और जहाँ ज़रूरत हो वहाँ दशमलव की सटीकता बनाए रखता है।