वियेत का सूत्र क्या है?
1593 में फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रांस्वा वियेत ने पहला ज्ञात अनंत गुणनफल प्रकाशित किया, जो स्थिरांक पाई को बंद विश्लेषणात्मक रूप में व्यक्त करता है। यह पूरी तरह से आधे (½) के नेस्टेड वर्गमूलों से बना है। यह कैलकुलेटर इस गुणनफल को आपके द्वारा चुनी गई पदों की संख्या तक हल करता है और दिखाता है कि मान कितनी तेज़ी से 3.14159265358979 की ओर अभिसरित होता है। यह शुद्ध गणित है और दुनिया में कहीं भी एक ही उत्तर देता है।
$$\frac{2}{\pi} = \sqrt{\tfrac12} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}}} \cdots$$
इसका उपयोग कैसे करें
लूप गणना (हल किए जाने वाले गुणनफल पदों की संख्या, डिफ़ॉल्ट 100) दर्ज करें और चुनें कि आप कितने अंक प्रदर्शित करना चाहते हैं। प्रत्येक अतिरिक्त पद एक अंतर्निहित समबहुभुज की भुजाओं की संख्या को दोगुना करने के समान है, जो 4-भुज से शुरू होकर \(2^{n+1}\)-भुज तक जाता है। चूँकि यह गणना मानक IEEE 754 डबल प्रिसीज़न का उपयोग करती है, इसलिए पाई लगभग 15 सार्थक अंकों तक हल होता है; प्रदर्शन-अंक चयनकर्ता बस आउटपुट को उतने अंकों तक पूर्णांकित कर देता है।
सूत्र की व्याख्या
s = 0 और y = 1 से शुरू करें। प्रत्येक चरण k के लिए, s को (1 + s) / 2 के वर्गमूल में अद्यतन करें, फिर उसे चालू गुणनफल y में गुणा करें। प्रत्येक गुणक \(\cos(\pi / 2^{k+1})\) के बराबर होता है, और इन कोज्याओं (कोसाइन) का गुणनफल 2/pi की ओर प्रवृत्त होता है। इसलिए पाई का अनुमान 2 को चालू गुणनफल y से भाग देकर लगाया जाता है। यह अनुमान नीचे से पाई की ओर बढ़ता है, और प्रति पद लगभग एक सही द्विआधारी अंक प्राप्त करता है।
$$s_k=\sqrt{\tfrac{1+s_{k-1}}{2}},\quad y_k=\prod_{i=1}^{k}s_i,\quad \pi=\frac{2}{y_k}$$
हल किया गया उदाहरण
k=1: \(s = \sqrt{0.5} = 0.70710678\), \(y = 0.70710678\), pi लगभग 2.82842712। k=2: \(s = 0.92387953\), \(y = 0.65328148\), pi लगभग 3.06146746। k=3: pi लगभग 3.12144515। k=4: pi लगभग 3.13654849। k=20 तक मान पहले से ही पाई से 14 दशमलव स्थानों तक मेल खाता है, और लगभग 30 या उससे अधिक की कोई भी लूप गणना डबल प्रिसीज़न में 3.14159265358979 को स्थिर कर देती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
15 से अधिक प्रदर्शन अंक बढ़ाने से मदद क्यों नहीं मिलती? मानक डबल-प्रिसीज़न फ़्लोटिंग पॉइंट केवल लगभग 15 से 16 सार्थक अंक ही रखता है, इसलिए चयनकर्ता चाहे जो भी हो, अंतर्निहित गणित इससे अधिक हल नहीं कर सकती।
बहुत कम लूप गणना से खराब अनुमान क्यों मिलता है? गुणनफल ज्यामितीय रूप से अभिसरित होता है; केवल कुछ ही पदों के साथ आप अभी भी कम भुजाओं वाले बहुभुज का अनुमान लगा रहे होते हैं, इसलिए मान पाई से काफ़ी कम रहता है।
क्या परिणाम कभी पाई से अधिक हो जाता है? नहीं। प्रत्येक गुणक 1 से कम की कोज्या है, इसलिए 2/y हमेशा एक कम-अनुमान के रूप में नीचे से ही पाई के पास पहुँचता है।
