Что такое формула Виета?
В 1593 году французский математик Франсуа Виет опубликовал первое известное бесконечное произведение, которое выражает константу π в замкнутой аналитической форме. Оно целиком построено из вложенных квадратных корней из одной второй. Этот калькулятор вычисляет произведение до заданного числа множителей и показывает, насколько быстро результат сходится к 3,14159265358979. Это чистая математика, поэтому ответ одинаков в любой точке мира.
$$\frac{2}{\pi} = \sqrt{\tfrac12} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}}} \cdots$$
Как пользоваться
Укажите число итераций (количество вычисляемых множителей произведения, по умолчанию 100) и выберите, сколько знаков показывать в результате. Каждый дополнительный множитель соответствует удвоению числа сторон вписанного правильного многоугольника — от четырёхугольника до \(2^{n+1}\)-угольника. Поскольку вычисления выполняются в стандартной двойной точности IEEE 754, число π определяется примерно с 15 значащими цифрами; переключатель количества знаков просто округляет вывод до нужного числа разрядов.
Разбор формулы
Начните со значений \(s = 0\) и \(y = 1\). На каждом шаге \(k\) обновляйте \(s\) как квадратный корень из \((1 + s) / 2\), а затем умножайте это значение на накапливаемое произведение \(y\). Каждый множитель равен \(\cos(\pi / 2^{k+1})\), и произведение этих косинусов стремится к \(2/\pi\). Следовательно, число π приближается как 2, делённое на текущее произведение \(y\). Оценка растёт к π снизу, добавляя примерно по одной верной двоичной цифре на каждый множитель.
$$s_k=\sqrt{\tfrac{1+s_{k-1}}{2}},\quad y_k=\prod_{i=1}^{k}s_i,\quad \pi=\frac{2}{y_k}$$
Разбор примера
\(k=1\): \(s = \sqrt{0{,}5} = 0{,}70710678\), \(y = 0{,}70710678\), \(\pi \approx 2{,}82842712\). \(k=2\): \(s = 0{,}92387953\), \(y = 0{,}65328148\), \(\pi \approx 3{,}06146746\). \(k=3\): \(\pi \approx 3{,}12144515\). \(k=4\): \(\pi \approx 3{,}13654849\). Уже к \(k=20\) значение совпадает с π с точностью до 14 знаков после запятой, а при любом числе итераций примерно от 30 и выше результат стабильно фиксируется на 3,14159265358979 в двойной точности.
Частые вопросы
Почему увеличение числа знаков сверх 15 ничего не даёт? Стандартная плавающая точка двойной точности хранит лишь около 15–16 значащих цифр, поэтому исходные вычисления физически не могут дать большую точность, как бы вы ни настраивали переключатель.
Почему при малом числе итераций оценка получается грубой? Произведение сходится геометрически: при всего нескольких множителях вы всё ещё приближаете многоугольник с малым числом сторон, поэтому значение заметно ниже π.
Может ли результат превысить π? Нет. Каждый множитель — это косинус, меньший 1, поэтому \(2/y\) всегда приближается к π снизу, оставаясь заниженной оценкой.
