Калькулятор числа Пи: трёхчленные формулы Мэчина на основе арктангенсов

Введите расчет

Формула вычисления Клингенстьерна, 1730: 8 arctg(1/10) − arctg(1/239) − 4 arctg(1/515) Штрасницкий, 1844: arctg(1/2) + arctg(1/5) + arctg(1/8) Гаусс, 1863: 12 arctg(1/18) + 8 arctg(1/57) − 5 arctg(1/239) Стёрмер, 1896: 5 arctg(1/6) − arctg(1/43) − 2 arctg(1/117)

Число знаков (точность) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 В арифметике двойной точности отображаемая точность ограничена примерно 15–16 значащими цифрами.

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Gregory (Maclaurin) series for arctangent

   

   Each arctan of a small argument x = 1/b is summed term by term until the increment falls below the precision target.

Результатов

Вычисленное значение Пи

3,141592653589793

Пи (безразмерная величина)

Слагаемое 1	0,797349219929296
Слагаемое 2	-0,004184076002075
Слагаемое 3	-0,007766980529773
Абсолютная погрешность относительно Math.PI	4,440892098500626E-16

Что делает этот калькулятор

Инструмент вычисляет математическую константу Пи по одной из четырёх классических трёхчленных формул Мэчина с арктангенсами. Каждая такая формула представляет пи/4 как взвешенную сумму трёх слагаемых вида \(a \cdot \arctan(1/b)\), где все коэффициенты — точные целые числа. Поскольку каждый аргумент 1/b мал, арктангенс эффективно вычисляется через степенной ряд Грегори (Маклорена). Это чистая математика, она работает одинаково везде и не зависит от каких-либо региональных особенностей.

Как пользоваться

Выберите формулу из списка: Клингенстьерна (1730), Штрасницкий (1844), Гаусс (1863) или Стёрмер (1896). Затем задайте число знаков точности. Все четыре формулы сходятся к одному и тому же значению Пи — различается лишь то, насколько быстро успокаивается ряд для арктангенса. Формулы с большими знаменателями (например, 239 и 515) сходятся быстрее, чем формула Штрасницкого с маленькими знаменателями. Обратите внимание: в этой версии используется арифметика с плавающей запятой двойной точности, поэтому отображаемая точность ограничена примерно 15–16 значащими цифрами вне зависимости от запрошенного числа знаков.

Разбор формулы

Для выбранных коэффициентов калькулятор вычисляет каждое слагаемое как term_i = a_i * atanSeries(1/b_i), где atanSeries(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + .... То есть:

$$\pi = 4\left(a_1\arctan\tfrac{1}{b_1} + a_2\arctan\tfrac{1}{b_2} + a_3\arctan\tfrac{1}{b_3}\right)$$

где

$$\arctan x = x - \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^5}{5} - \tfrac{x^7}{7} + \cdots$$

Суммирование ряда продолжается, пока очередное приращение не станет меньше допуска (порядка 10 в степени минус число знаков плюс два). В итоге \(\pi = 4 \times (\text{term1} + \text{term2} + \text{term3})\). Отрицательные коэффициенты просто вычитают своё арктангенсное слагаемое, а знак сохраняется в точности таким, каким он задан в таблице.

Реклама

Три взвешенных угла арктангенса в сумме дают четверть пи.

Каждое слагаемое \(\arctan(1/b)\) — это угол прямоугольного треугольника с катетами 1 и b.

Разобранный пример

По формуле Штрасницкого: \(\arctan(1/2) = 0.4636476090008061\), \(\arctan(1/5) = 0.1973955598498807\), \(\arctan(1/8) = 0.1243549945467614\). Их сумма равна \(0.7853981633974482\), а умноженная на четыре даёт

$$4 \times 0.7853981633974482 = 3.141592653589793$$

— это совпадает с Пи с полной точностью двойного представления.

Частые вопросы

Зачем использовать арктангенсные формулы, а не более простой ряд? Классический ряд Лейбница для пи/4 сходится мучительно медленно. Разложение пи/4 на арктангенсы малых аргументов заставляет каждый ряд сходиться куда быстрее.

Почему нельзя получить 50 точных знаков? Стандартная арифметика двойной точности хранит лишь около 15–16 значащих десятичных цифр. Версия с произвольной точностью использовала бы арифметику BigDecimal, чтобы достигать больших значений.

Все ли четыре формулы дают одинаковый ответ? Да. Это математически эквивалентные тождества для Пи; различается только скорость их сходимости.