這個計算器的功能
本工具使用四種經典的三項馬欽類反正切恆等式之一來計算數學常數 π。每個恆等式都把 π/4 寫成三個反正切項的加權和，形式為 \(a \cdot \arctan(1/b)\)，其中所有係數都是精確的整數。由於每個引數 \(1/b\) 都很小，反正切便能透過格雷果里（馬克勞林）冪級數高效率求值。這純粹是數學運算，全球通用，不涉及任何地區性假設。
使用方式
先從下拉選單挑選一個公式：Klingenstierna（1730）、Strassnitzky（1844）、Gauss（1863）或 Störmer（1896），接著選擇精度（位數）。這四個公式最終都會收斂到相同的 π 值，差別只在於反正切級數收斂的快慢。分母較大的公式（例如 239 與 515）會比 Strassnitzky 的小分母收斂得更快。請留意，這個版本採用雙精度浮點數運算，因此無論你要求多少位數，實際顯示的準確度約只能到 15～16 位有效數字。
公式解析
針對選定的係數，計算器會逐項求值為 term_i = a_i * atanSeries(1/b_i)，其中 atanSeries(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...。完整的反正切級數為 $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$ 級數會持續累加，直到下一個增量小於容差（約為 10 的負「位數加二」次方）為止。最後 \(\pi = 4 \times (\text{term1} + \text{term2} + \text{term3})\)。整體恆等式為 $$\pi = 4\left(a_1\arctan\tfrac{1}{b_1} + a_2\arctan\tfrac{1}{b_2} + a_3\arctan\tfrac{1}{b_3}\right)$$ 負係數只是把對應的反正切項相減，正負號會完全依照表列數值保留。
實例演算
以 Strassnitzky 的恆等式為例：\(\arctan(1/2) = 0.4636476090008061\)、\(\arctan(1/5) = 0.1973955598498807\)、\(\arctan(1/8) = 0.1243549945467614\)。三者相加為 $$0.4636476090008061 + 0.1973955598498807 + 0.1243549945467614 = 0.7853981633974482$$ 乘以 4 即得 $$4 \times 0.7853981633974482 = 3.141592653589793$$ 與雙精度下的完整 π 值完全吻合。
常見問題
為什麼要用反正切恆等式，而不用更簡單的級數？單純的萊布尼茲（Leibniz）級數計算 π/4 收斂得極為緩慢。把 π/4 拆解成小引數的反正切，能讓每個級數收斂得快上許多。
為什麼算不出 50 位精確數字？標準的雙精度算術只能保有約 15～16 位有效十進位數字。真正的任意精度版本會改用 BigDecimal 算術，才能達到更高的位數目標。
四個公式得到的答案都一樣嗎？是的。它們在數學上都是 π 的等價恆等式，差別僅在於收斂速度。
