Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la constante matemática pi mediante una de cuatro identidades clásicas de arcotangente de tres términos del tipo Machin. Cada identidad expresa pi/4 como una suma ponderada de tres términos de arcotangente de la forma a · arctan(1/b), donde todos los coeficientes son enteros exactos. Como cada argumento 1/b es pequeño, la arcotangente se evalúa de forma eficiente con la serie de potencias de Gregory (Maclaurin). Se trata de matemática pura, válida en cualquier lugar y sin ninguna suposición regional.
Cómo usarla
Elige una fórmula en el menú desplegable: Klingenstierna (1730), Strassnitzky (1844), Gauss (1863) o Störmer (1896). Después, selecciona el número de dígitos de precisión. Las cuatro fórmulas convergen al mismo valor de pi; solo se diferencian en la rapidez con la que se estabiliza la serie de la arcotangente. Las fórmulas con denominadores grandes (como 239 y 515) convergen más deprisa que los denominadores pequeños de Strassnitzky. Ten en cuenta que esta versión emplea aritmética de coma flotante de doble precisión, por lo que la exactitud mostrada se limita a unos 15-16 dígitos significativos, independientemente de la precisión solicitada.
La fórmula explicada
Para los coeficientes elegidos, la calculadora evalúa cada término como term_i = a_i * atanSeries(1/b_i), donde \(\arctan x = x - \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^5}{5} - \tfrac{x^7}{7} + \cdots\). La serie se suma hasta que el siguiente incremento es menor que la tolerancia (en torno a 10 elevado al número de dígitos en negativo, más dos). Por último, la fórmula completa es $$\pi = 4\left(a_1\arctan\tfrac{1}{b_1} + a_2\arctan\tfrac{1}{b_2} + a_3\arctan\tfrac{1}{b_3}\right)$$ Los coeficientes negativos simplemente restan su término de arcotangente, y el signo se conserva exactamente tal como aparece tabulado.
Ejemplo resuelto
Con la identidad de Strassnitzky: \(\arctan(1/2) = 0{,}4636476090008061\), \(\arctan(1/5) = 0{,}1973955598498807\), \(\arctan(1/8) = 0{,}1243549945467614\). Su suma es $$0{,}4636476090008061 + 0{,}1973955598498807 + 0{,}1243549945467614 = 0{,}7853981633974482$$ y al multiplicarla por cuatro se obtiene $$4 \times 0{,}7853981633974482 = 3{,}141592653589793$$ que coincide con pi en toda la doble precisión.
Preguntas frecuentes
¿Por qué usar identidades de arcotangente en lugar de una serie más sencilla? La serie de Leibniz para pi/4 converge con una lentitud desesperante. Descomponer pi/4 en arcotangentes de argumentos pequeños hace que cada serie converja mucho más rápido.
¿Por qué no consigo 50 dígitos exactos? La aritmética estándar de doble precisión solo maneja unos 15-16 dígitos decimales significativos. Una versión con precisión arbitraria real emplearía aritmética de tipo BigDecimal para alcanzar objetivos más altos.
¿Las cuatro fórmulas dan el mismo resultado? Sí. Son identidades matemáticamente equivalentes para pi; solo cambia su velocidad de convergencia.
