Máy Tính Số Pi: Công Thức ATAN Kiểu Machin Với Ba Số Hạng

Nhập phép tính

Công thức tính Klingenstierna 1730: 8 atan(1/10) - atan(1/239) - 4 atan(1/515) Strassnitzky 1844: atan(1/2) + atan(1/5) + atan(1/8) Gauss 1863: 12 atan(1/18) + 8 atan(1/57) - 5 atan(1/239) Stormer 1896: 5 atan(1/6) - atan(1/43) - 2 atan(1/117)

Số chữ số (độ chính xác) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 Độ chính xác hiển thị bị giới hạn ở khoảng 15-16 chữ số có nghĩa do dùng số học độ chính xác kép.

Công thức

Show calculation steps (1)

1. Gregory (Maclaurin) series for arctangent

   

   Each arctan of a small argument x = 1/b is summed term by term until the increment falls below the precision target.

Kết quả

Giá trị pi tính được

3,141592653589793

pi (không thứ nguyên)

Số hạng 1	0,797349219929296
Số hạng 2	-0,004184076002075
Số hạng 3	-0,007766980529773
Sai số tuyệt đối so với Math.PI	4,440892098500626E-16

Công cụ này làm gì

Công cụ này tính hằng số toán học pi bằng một trong bốn đẳng thức arctang kiểu Machin với ba số hạng kinh điển. Mỗi đẳng thức biểu diễn pi/4 thành tổng có trọng số của ba số hạng arctang dạng \(a \cdot \arctan(1/b)\), trong đó mọi hệ số đều là số nguyên chính xác. Vì mỗi đối số \(1/b\) đều nhỏ nên arctang được tính hiệu quả bằng chuỗi lũy thừa Gregory (Maclaurin). Đây là toán học thuần túy, áp dụng được ở khắp mọi nơi mà không phụ thuộc vào bất kỳ giả định vùng miền nào.

Cách sử dụng

Chọn một công thức từ danh sách: Klingenstierna (1730), Strassnitzky (1844), Gauss (1863) hoặc Stormer (1896). Sau đó chọn số chữ số mong muốn về độ chính xác. Cả bốn công thức đều hội tụ về cùng một giá trị của pi; chúng chỉ khác nhau ở tốc độ ổn định của chuỗi arctang. Các công thức có mẫu số lớn (chẳng hạn 239 và 515) hội tụ nhanh hơn so với các mẫu số nhỏ của Strassnitzky. Lưu ý rằng bản dựng này dùng số dấu phẩy động độ chính xác kép (double), nên độ chính xác hiển thị bị giới hạn ở khoảng 15-16 chữ số có nghĩa, bất kể bạn yêu cầu bao nhiêu chữ số.

Giải thích công thức

Với các hệ số đã chọn, máy tính tính mỗi số hạng theo term_i = a_i * atanSeries(1/b_i), trong đó atanSeries(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + .... Đầy đủ hơn:

$$\pi = 4\left(a_1\arctan\tfrac{1}{b_1} + a_2\arctan\tfrac{1}{b_2} + a_3\arctan\tfrac{1}{b_3}\right)$$$$\arctan x = x - \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^5}{5} - \tfrac{x^7}{7} + \cdots$$

Chuỗi được cộng dồn cho đến khi số hạng tiếp theo nhỏ hơn ngưỡng dung sai (khoảng 10 mũ âm bằng số chữ số cộng thêm hai). Cuối cùng pi = 4 \times (term1 + term2 + term3). Hệ số âm chỉ đơn giản là trừ đi số hạng arctang tương ứng, và dấu được giữ nguyên chính xác như trong bảng.

Quảng cáo

Ba góc arctang có trọng số kết hợp lại bằng một phần tư pi.

Mỗi số hạng arctan(1/b) là góc của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 1 và b.

Ví dụ minh họa

Sử dụng đẳng thức của Strassnitzky: \(\arctan(1/2) = 0.4636476090008061\), \(\arctan(1/5) = 0.1973955598498807\), \(\arctan(1/8) = 0.1243549945467614\). Tổng của chúng là \(0.7853981633974482\), nhân bốn cho ra \(4 \times 0.7853981633974482 = 3.141592653589793\), đúng bằng pi ở độ chính xác kép đầy đủ.

Câu hỏi thường gặp

Tại sao dùng đẳng thức arctang thay vì một chuỗi đơn giản hơn? Chuỗi Leibniz cơ bản cho pi/4 hội tụ cực kỳ chậm. Việc tách pi/4 thành các arctang của những đối số nhỏ giúp mỗi chuỗi hội tụ nhanh hơn rất nhiều.

Tại sao tôi không lấy được 50 chữ số chính xác? Phép tính độ chính xác kép tiêu chuẩn chỉ giữ được khoảng 15-16 chữ số thập phân có nghĩa. Một bản dựng thực sự có độ chính xác tùy ý sẽ phải dùng số học BigDecimal để đạt tới các mục tiêu lớn hơn.

Cả bốn công thức có cho ra cùng một kết quả không? Có. Chúng là những đẳng thức tương đương về mặt toán học cho pi; chỉ khác nhau ở tốc độ hội tụ.