Công cụ này làm gì?
Công cụ này tính hằng số toán học Pi bằng cách áp dụng một trong nhiều công thức arctan hai số hạng kinh điển kiểu "Machin". Mỗi công thức biểu diễn Pi/4 dưới dạng tổng có trọng số của hai hàm arctan với các số hữu tỉ nhỏ, và mỗi arctan lại được khai triển bằng chuỗi lũy thừa Gregory/Leibniz quen thuộc. Vì các đối số đều nhỏ nên chuỗi hội tụ rất nhanh, chỉ cần vài số hạng là đã đạt độ chính xác đầy đủ của số thực dấu phẩy động kép.
Cách sử dụng
Hãy chọn một công thức nổi tiếng trong danh sách thả xuống — Machin (1706), Hermann (1706), Euler (1738), Euler & Vega (1755) hoặc Hutton (1776). Tiếp đến, chọn số chữ số có nghĩa bạn muốn và giới hạn số số hạng của chuỗi (Số vòng lặp tối đa). Máy tính sẽ trả về giá trị Pi tính được, số số hạng đã cộng cho đến khi số hạng kế tiếp nhỏ hơn ngưỡng sai số, cùng sai số tuyệt đối so với giá trị thật của Pi.
Lưu ý: phiên bản mới này dùng số học dấu phẩy động kép theo chuẩn IEEE, cho độ chính xác trung thực khoảng 15–16 chữ số có nghĩa. Nếu bạn đặt mức cao hơn, kết quả sẽ bị giới hạn ở 15 chữ số; để đạt được dải 22–50 chữ số như công cụ gốc thì cần đến số học có độ chính xác tùy ý.
Giải thích công thức
Đẳng thức tổng quát là $$\pi = 4\left(c_1\,\arctan\frac{p_1}{q_1} + c_2\,\arctan\frac{p_2}{q_2}\right)$$ Chuỗi Gregory $$\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \ldots$$ được cộng dồn từng số hạng cho đến khi một số hạng nhỏ hơn ngưỡng sai số \(0{,}5\times 10^{-(\text{số chữ số} + 2)}\). Đối số càng nhỏ thì hội tụ càng nhanh: các số \(1/5\) và \(1/239\) của Machin đạt độ chính xác cao chỉ với rất ít số hạng so với \(1/2\) và \(1/3\) của Euler.
Ví dụ minh họa (Machin 1706)
Với \(\text{arg}_1 = 1/5\) và \(c_1 = 4\), ta có \(\arctan(0{,}2) \approx 0{,}19739555985\). Với \(\text{arg}_2 = 1/239\) và \(c_2 = -1\), ta có \(\arctan(1/239) \approx 0{,}00418407600\). Khi đó $$\frac{\pi}{4} = 4\cdot 0{,}19739555985 - 0{,}00418407600 = 0{,}78539816339$$ suy ra $$\pi = 4\cdot 0{,}78539816339 = 3{,}14159265359$$ đúng bằng giá trị thật.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao không có chuỗi Leibniz (arctan 1)? Vì \(\arctan(1) = \pi/4\) hội tụ cực kỳ chậm — phải cộng hàng nghìn số hạng mà chỉ cho ra vài chữ số đúng — nên nó chỉ được nhắc đến vì giá trị lịch sử chứ không được đưa vào như một công thức nhanh.
Vì sao Machin cần ít số hạng hơn Euler? Vì các đối số của Machin (\(1/5\), \(1/239\)) nhỏ hơn, mà chuỗi Gregory hội tụ nhanh hơn khi \(|x|\) càng nhỏ.
Tôi có thể lấy 40 chữ số của Pi ở đây không? Không thể với độ chính xác kép; kết quả chỉ đáng tin cậy đến khoảng 15 chữ số. Muốn chính xác hơn thì cần số học big-decimal (số thập phân lớn).
