Bu hesaplama aracı ne işe yarar?
Bu araç, tarihe geçmiş çeşitli "Machin tipi" iki terimli arktanjant formüllerinden birini kullanarak matematiksel Pi sabitini hesaplar. Her formül, Pi/4 değerini küçük rasyonel sayıların iki arktanjantının ağırlıklı toplamı olarak yazar ve her arktanjant da klasik Gregory/Leibniz kuvvet serisiyle açılır. Argümanlar küçük olduğundan seri hızla yakınsar; tam çift duyarlıklı (double-precision) doğruluğa ulaşmak için yalnızca birkaç terim yeterli olur.
Nasıl kullanılır?
Açılır menüden ünlü formüllerden birini seçin — Machin (1706), Hermann (1706), Euler (1738), Euler & Vega (1755) veya Hutton (1776). İstediğiniz anlamlı basamak sayısını ve seri terim sayısı için bir üst sınır (Maksimum yineleme) belirleyin. Hesaplama aracı; Pi'nin hesaplanan değerini, bir sonraki terim toleransın altına düşmeden önce toplanan terim sayısını ve gerçek Pi değerine kıyasla mutlak hatayı verir.
Not: Yeniden yazılan bu sürüm, yaklaşık 15–16 anlamlı basamağa kadar güvenilir olan IEEE çift duyarlıklı aritmetik kullanır. Bunun üzerindeki ayarlar 15 basamakta sınırlandırılır; orijinal aracın 22–50 basamaklık aralıkları için keyfi duyarlıklı (arbitrary-precision) aritmetik gerekir.
Formülün açıklaması
Genel özdeşlik şudur: $$\pi = 4\left(c_1\,\arctan\frac{p_1}{q_1} + c_2\,\arctan\frac{p_2}{q_2}\right)$$ Gregory serisi \(\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots\) , bir terim \(0{,}5\times10^{-(\text{basamak}+2)}\) toleransının altına düşene kadar terim terim toplanır. Daha küçük argümanlar daha hızlı yakınsar: Machin'in \(1/5\) ve \(1/239\) değerleri, Euler'in \(1/2\) ve \(1/3\) değerlerine göre çok daha az terimle yüksek doğruluğa ulaşır.
Çözümlü örnek (Machin 1706)
\(\text{arg}_1 = 1/5\) ve \(c_1 = 4\) ile \(\arctan(0{,}2) \approx 0{,}19739555985\) olur. \(\text{arg}_2 = 1/239\) ve \(c_2 = -1\) ile \(\arctan(1/239) \approx 0{,}00418407600\) olur. Buradan $$\frac{\pi}{4} = 4\cdot 0{,}19739555985 - 0{,}00418407600 = 0{,}78539816339$$ ve dolayısıyla $$\pi = 4\cdot 0{,}78539816339 = 3{,}14159265359$$ bulunur ki bu da gerçek değerle örtüşür.
Sıkça Sorulan Sorular
Leibniz serisi (arctan 1) neden seçenekler arasında yok? Çünkü \(\arctan(1) = \pi/4\) son derece yavaş yakınsar — binlerce terim ancak birkaç doğru basamak verir — bu yüzden tarihî değeri için anılır ama hızlı bir formül olarak sunulmaz.
Machin neden Euler'den daha az terim kullanır? Argümanları \((1/5, 1/239)\) daha küçüktür ve Gregory serisi \(|x|\) küçüldükçe daha hızlı yakınsar.
Burada Pi'nin 40 basamağını alabilir miyim? Çift duyarlıkla mümkün değil; sonuç kabaca 15 basamağa kadar güvenilirdir. Daha yüksek duyarlık için büyük ondalık (big-decimal) aritmetik gerekir.
