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सूत्र (फॉर्मूला)

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Machin-like two-term formula

Pi expressed from two arctangents of small rational arguments for fast convergence.

परिणाम

पाई का परिकलित मान

3.141592653663433

via Machin 1706 arctangent formula

सही पाई मान (Math.PI)	3.141592653589793
प्रयुक्त पद	16
सही पाई की तुलना में निरपेक्ष त्रुटि	7.363976E-11

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल गणितीय स्थिरांक पाई (π) की गणना कई ऐतिहासिक "मैकिन-शैली" दो-पद आर्कटैन सूत्रों में से किसी एक का मूल्यांकन करके करता है। हर सूत्र Pi/4 को दो छोटी परिमेय संख्याओं के आर्कटैन के भारित योग के रूप में लिखता है, और हर आर्कटैन को प्रसिद्ध ग्रेगरी/लाइबनिट्ज़ घात-शृंखला से विस्तारित किया जाता है। चूँकि तर्क (arguments) छोटे होते हैं, इसलिए शृंखला तेज़ी से अभिसरित होती है और पूर्ण डबल-प्रिसिज़न सटीकता के लिए केवल कुछ ही पदों की आवश्यकता होती है।

इसका उपयोग कैसे करें

ड्रॉपडाउन से कोई प्रसिद्ध सूत्र चुनें — मैकिन (1706), हरमन (1706), ऑयलर (1738), ऑयलर एवं वेगा (1755), या हटन (1776)। आप कितने सार्थक अंक (significant digits) चाहते हैं और शृंखला के पदों की अधिकतम संख्या (Max iterations) तय करें। कैलकुलेटर पाई का परिकलित मान, अगला पद सहनशीलता (tolerance) से नीचे गिरने से पहले जोड़े गए पदों की संख्या, और पाई के सही मान की तुलना में निरपेक्ष त्रुटि (absolute error) लौटाता है।

ध्यान दें: यह पुनर्निर्मित संस्करण IEEE डबल-प्रिसिज़न अंकगणित का उपयोग करता है, जो लगभग 15–16 सार्थक अंकों तक विश्वसनीय है। इससे ऊपर की सेटिंग्स 15 अंकों पर सीमित कर दी जाती हैं; मूल टूल की 22–50 अंक वाली सीमा के लिए अनियंत्रित-प्रिसिज़न (arbitrary-precision) अंकगणित की आवश्यकता होगी।

सूत्र की व्याख्या

सामान्य सर्वसमिका है $$\pi = 4\left(c_1\,\arctan\frac{p_1}{q_1} + c_2\,\arctan\frac{p_2}{q_2}\right)$$ ग्रेगरी शृंखला $\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \ldots$ को पद-दर-पद तब तक जोड़ा जाता है जब तक कोई पद सहनशीलता $0.5\times10^{-(\text{digits}+2)}$ से नीचे न गिर जाए। छोटे तर्क तेज़ी से अभिसरित होते हैं: मैकिन के $1/5$ और $1/239$ ऑयलर के $1/2$ और $1/3$ की तुलना में बहुत कम पदों में उच्च सटीकता प्राप्त कर लेते हैं।

ग्रेगरी आर्कटैन्जेंट श्रेणी को सिकुड़ती हुई एकांतर पट्टियों के रूप में दिखाया गया है जो एक मान पर अभिसरित होती हैं — प्रत्येक आर्कटैन्जेंट का मान ग्रेगरी की एकांतर श्रेणी से निकाला जाता है, जिसके पद तेज़ी से घटते हैं।

आरेख जिसमें पाई को समकोण त्रिभुजों से बने दो स्केल किए गए आर्कटैन्जेंट कोणों के संयोजन के रूप में दिखाया गया है — एक मैकिन-जैसा सूत्र π को दो आर्कटैन्जेंट पदों के भारित योग के रूप में व्यक्त करता है।

हल किया गया उदाहरण (मैकिन 1706)

arg1 = $1/5$ और c1 = $4$ के साथ, $\arctan(0.2) \approx 0.19739555985$। arg2 = $1/239$ और c2 = $-1$ के साथ, $\arctan(1/239) \approx 0.00418407600$। तब $$\frac{\pi}{4} = 4\cdot 0.19739555985 - 0.00418407600 = 0.78539816339$$ इसलिए $$\pi = 4\cdot 0.78539816339 = 3.14159265359$$ जो सही मान से मेल खाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

लाइबनिट्ज़ शृंखला (arctan 1) एक विकल्प क्यों नहीं है? क्योंकि $\arctan(1) = \pi/4$ बेहद धीमी गति से अभिसरित होती है — हज़ारों पद भी केवल कुछ ही सही अंक देते हैं — इसलिए इसका उल्लेख इतिहास के लिए तो है, पर तेज़ सूत्र के रूप में इसे प्रस्तुत नहीं किया गया।

मैकिन, ऑयलर की तुलना में कम पदों का उपयोग क्यों करता है? इसके तर्क ($1/5$, $1/239$) छोटे हैं, और ग्रेगरी शृंखला छोटे $|x|$ के लिए तेज़ी से अभिसरित होती है।

क्या मैं यहाँ पाई के 40 अंक प्राप्त कर सकता हूँ? डबल-प्रिसिज़न में नहीं; परिणाम लगभग 15 अंकों तक विश्वसनीय है। अधिक सटीकता के लिए बिग-डेसिमल अंकगणित की आवश्यकता है।

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