Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule la constante mathématique Pi en évaluant l'une des célèbres formules historiques d'arctangente à deux termes, dites « de type Machin ». Chacune exprime Pi/4 comme une somme pondérée de deux arctangentes de petits nombres rationnels, et chaque arctangente est développée à l'aide de la classique série en puissances de Gregory-Leibniz. Comme les arguments sont petits, la série converge rapidement : quelques termes suffisent pour atteindre toute la précision permise par la double précision.
Comment l'utiliser
Sélectionnez une formule célèbre dans le menu déroulant — Machin (1706), Hermann (1706), Euler (1738), Euler & Vega (1755) ou Hutton (1776). Indiquez le nombre de chiffres significatifs souhaités ainsi qu'une limite sur le nombre de termes de la série (Nombre maximal d'itérations). Le calculateur renvoie la valeur calculée de Pi, le nombre de termes additionnés avant que le terme suivant ne passe sous le seuil de tolérance, et l'erreur absolue par rapport à la vraie valeur de Pi.
À noter : cette version reconstruite utilise l'arithmétique IEEE en double précision, fidèle à environ 15 à 16 chiffres significatifs. Les réglages au-delà sont plafonnés à 15 chiffres ; une arithmétique à précision arbitraire serait nécessaire pour atteindre les plages de 22 à 50 chiffres de l'outil d'origine.
La formule expliquée
L'identité générale s'écrit $$\pi = 4\left(c_1\,\arctan\frac{p_1}{q_1} + c_2\,\arctan\frac{p_2}{q_2}\right)$$ La série de Gregory $$\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots$$ est sommée terme à terme jusqu'à ce qu'un terme passe sous la tolérance \(0{,}5\times10^{-(\text{chiffres}+2)}\). Plus l'argument est petit, plus la convergence est rapide : les \(1/5\) et \(1/239\) de Machin atteignent une grande précision avec bien moins de termes que les \(1/2\) et \(1/3\) d'Euler.
Exemple détaillé (Machin 1706)
Avec arg1 = \(1/5\) et \(c_1 = 4\), on a \(\arctan(0{,}2) \approx 0{,}19739555985\). Avec arg2 = \(1/239\) et \(c_2 = -1\), on a \(\arctan(1/239) \approx 0{,}00418407600\). Alors $$\frac{\pi}{4} = 4\cdot 0{,}19739555985 - 0{,}00418407600 = 0{,}78539816339$$ d'où $$\pi = 4\cdot 0{,}78539816339 = 3{,}14159265359$$ ce qui correspond à la vraie valeur.
FAQ
Pourquoi la série de Leibniz (arctan 1) n'est-elle pas proposée ? Parce que \(\arctan(1) = \pi/4\) converge à une lenteur désespérante — il faut des milliers de termes pour obtenir seulement quelques décimales correctes. Elle est donc citée pour son intérêt historique, mais n'est pas offerte comme formule rapide.
Pourquoi Machin utilise-t-il moins de termes qu'Euler ? Ses arguments (\(1/5\), \(1/239\)) sont plus petits, et la série de Gregory converge d'autant plus vite que \(|x|\) est faible.
Puis-je obtenir 40 décimales de Pi ici ? Pas en double précision : le résultat est fiable jusqu'à environ 15 chiffres. Une précision supérieure exigerait une arithmétique en grands nombres décimaux.
