머신 유사 2항 아크탄젠트 급수로 원주율(π) 구하기

계산 입력

계산 공식 머신 1706 — pi/4 = 4*atan(1/5) - atan(1/239) 헤르만 1706 — pi/4 = 2*atan(1/2) + atan(1/7) 오일러 1738 — pi/4 = atan(1/2) + atan(1/3) Euler & Vega 1755 — pi/4 = 5*atan(1/7) + 2*atan(3/79) 허턴 1776 — pi/4 = 2*atan(1/3) + atan(1/7)

자릿수 / 정밀도 (유효 자릿수) 6 10 14 15 (배정밀도 한계)

최대 반복 횟수

공식

Show calculation steps (1)

1. Machin-like two-term formula

   

   Pi expressed from two arctangents of small rational arguments for fast convergence.

결과

계산된 원주율 값

3.141592653663433

via Machin 1706 arctangent formula

실제 원주율 (Math.PI)	3.141592653589793
사용된 항 수	16
실제 원주율 대비 절대 오차	7.363976E-11

이 계산기는 무엇을 하나요

이 도구는 역사적으로 유명한 여러 '머신 유사(Machin-like)' 2항 아크탄젠트 공식 중 하나를 계산해 수학 상수 원주율(π)을 구합니다. 각 공식은 π/4를 작은 유리수 두 개의 아크탄젠트에 가중치를 붙인 합으로 표현하며, 각 아크탄젠트는 고전적인 그레고리/라이프니츠 멱급수로 전개합니다. 입력 인수가 작기 때문에 급수가 빠르게 수렴하고, 배정밀도(double precision)의 모든 자릿수를 채우는 데에도 몇 개의 항이면 충분합니다.

사용 방법

드롭다운에서 유명한 공식 하나를 고르세요 — 머신(Machin, 1706), 헤르만(Hermann, 1706), 오일러(Euler, 1738), 오일러 & 베가(Euler & Vega, 1755), 허턴(Hutton, 1776) 중에서 선택할 수 있습니다. 원하는 유효 자릿수와 급수의 항 수 상한(최대 반복 횟수)을 정하면, 계산기는 산출된 원주율 값과, 다음 항이 허용 오차보다 작아지기 직전까지 더한 항의 개수, 그리고 실제 원주율과 비교한 절대 오차를 보여줍니다.

참고: 이 새로 구현한 버전은 IEEE 배정밀도 연산을 사용하므로 유효 자릿수 약 15~16자리까지 정확합니다. 그 이상으로 설정해도 15자리에서 잘립니다. 원래 도구가 다루던 22~50자리 범위를 얻으려면 임의 정밀도(arbitrary-precision) 연산이 필요합니다.

공식 풀이

일반적인 항등식은 다음과 같습니다.

$$\pi = 4\left(c_1\,\arctan\frac{p_1}{q_1} + c_2\,\arctan\frac{p_2}{q_2}\right)$$

그레고리 급수 \(\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots\) 를 한 항씩 더해 나가다가, 어떤 항이 허용 오차 \(0.5\times 10^{-(\text{자릿수}+2)}\) 아래로 떨어지면 멈춥니다. 인수가 작을수록 더 빨리 수렴합니다. 머신의 \(\tfrac{1}{5}\)과 \(\tfrac{1}{239}\)는 오일러의 \(\tfrac{1}{2}\)과 \(\tfrac{1}{3}\)보다 훨씬 적은 항으로 높은 정확도에 도달합니다.

각 아크탄젠트는 항이 빠르게 줄어드는 교대 그레고리 급수로 계산된다.

마친 형식의 공식은 π를 두 아크탄젠트 항의 가중합으로 표현한다.

계산 예시 (머신 1706)

\(\text{arg}_1 = \tfrac{1}{5}\), \(c_1 = 4\)일 때 \(\arctan(0.2) \approx 0.19739555985\) 입니다. \(\text{arg}_2 = \tfrac{1}{239}\), \(c_2 = -1\)일 때 \(\arctan\tfrac{1}{239} \approx 0.00418407600\) 입니다. 따라서 $$\frac{\pi}{4} = 4\cdot 0.19739555985 - 0.00418407600 = 0.78539816339$$ 이고, $$\pi = 4\cdot 0.78539816339 = 3.14159265359$$ 로 실제 값과 일치합니다.

자주 묻는 질문

라이프니츠 급수(arctan 1)는 왜 선택지에 없나요? \(\arctan(1) = \tfrac{\pi}{4}\)는 수렴이 지독하게 느리기 때문입니다. 수천 개의 항을 더해도 정확한 자릿수는 겨우 몇 자리뿐이라, 역사적 의미로만 언급하고 빠른 공식으로는 제공하지 않습니다.

머신 공식이 오일러 공식보다 항을 적게 쓰는 이유는요? 머신의 인수(\(\tfrac{1}{5}\), \(\tfrac{1}{239}\))가 더 작은데, 그레고리 급수는 \(|x|\)가 작을수록 더 빨리 수렴하기 때문입니다.

여기서 원주율 40자리까지 얻을 수 있나요? 배정밀도로는 불가능합니다. 결과는 약 15자리까지 신뢰할 수 있으며, 그 이상은 빅데시멀(big-decimal) 연산이 필요합니다.