ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الثابت الرياضي باي (π) من خلال تقييم إحدى الصيغ التاريخية الشهيرة المعروفة بصيغ «من نوع ماشن» ثنائية الحدود لدالة أركتانجنت. تكتب كل صيغة قيمة π/4 على هيئة مجموع موزون لقيمتي أركتانجنت لأعداد نسبية صغيرة، ثم تُنشَر كل دالة أركتانجنت باستخدام متسلسلة القوى الكلاسيكية لغريغوري وليبنتس. ولأن الوسائط صغيرة، تتقارب المتسلسلة بسرعة، ويكفي عدد قليل من الحدود للوصول إلى الدقة الكاملة للأعداد العشرية مزدوجة الدقة.
طريقة الاستخدام
اختر إحدى الصيغ الشهيرة من القائمة المنسدلة — ماشن (1706)، أو هيرمان (1706)، أو أويلر (1738)، أو أويلر وفيغا (1755)، أو هاتون (1776). ثم حدِّد عدد الأرقام المعنوية التي تريدها، وحدًّا أقصى لعدد حدود المتسلسلة (أقصى عدد للتكرارات). تُرجع الحاسبة القيمة المحسوبة لباي، وعدد الحدود التي جمعتها قبل أن يهبط الحد التالي تحت قيمة التفاوت المسموح، والخطأ المطلق مقارنةً بالقيمة الحقيقية لباي.
ملاحظة: تعتمد هذه النسخة المُعاد بناؤها على حساب الأعداد العشرية مزدوجة الدقة وفق معيار IEEE، وهو دقيق حتى نحو 15 إلى 16 رقمًا معنويًا. أي إعداد يتجاوز ذلك يُقيَّد عند 15 رقمًا؛ فالوصول إلى نطاقات 22 إلى 50 رقمًا في الأداة الأصلية يستلزم حسابًا بدقة اعتباطية (عالية).
شرح الصيغة
المتطابقة العامة هي: $$\pi = 4\left(c_1\,\arctan\frac{p_1}{q_1} + c_2\,\arctan\frac{p_2}{q_2}\right)$$ تُجمع متسلسلة غريغوري \(\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots\) حدًّا تلو الآخر حتى يهبط أحد الحدود تحت قيمة التفاوت \(0.5 \times 10^{-(\text{digits}+2)}\). وكلما صغر الوسيط زادت سرعة التقارب: فالوسيطان \(1/5\) و\(1/239\) عند ماشن يبلغان دقة عالية بعدد من الحدود أقل بكثير من وسيطي أويلر \(1/2\) و\(1/3\).
مثال محلول (صيغة ماشن 1706)
بأخذ \(\text{arg}_1 = 1/5\) و\(c_1 = 4\)، يكون \(\arctan(0.2) \approx 0.19739555985\). وبأخذ \(\text{arg}_2 = 1/239\) و\(c_2 = -1\)، يكون \(\arctan(1/239) \approx 0.00418407600\). ومن ثَمَّ فإن $$\pi/4 = 4 \cdot 0.19739555985 - 0.00418407600 = 0.78539816339$$ أي إن $$\pi = 4 \cdot 0.78539816339 = 3.14159265359$$ وهو ما يطابق القيمة الحقيقية.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا تتوفر متسلسلة ليبنتس (arctan 1) كخيار؟ لأن \(\arctan(1) = \pi/4\) تتقارب ببطء شديد للغاية — إذ تعطي آلاف الحدود بضعة أرقام صحيحة فقط — لذا تُذكر للتوثيق التاريخي فحسب ولا تُطرح كصيغة سريعة.
لماذا تستخدم صيغة ماشن حدودًا أقل من أويلر؟ لأن وسيطيها (\(1/5\) و\(1/239\)) أصغر، ومتسلسلة غريغوري تتقارب أسرع كلما صغرت قيمة \(|x|\).
هل يمكنني الحصول على 40 رقمًا من باي هنا؟ لا، ليس بالدقة المزدوجة؛ فالنتيجة موثوقة حتى نحو 15 رقمًا. أما الدقة الأعلى فتتطلب حسابًا بأعداد عشرية كبيرة (big-decimal).
