حاسبة مجموع المتتالية الحسابية بالحد الأول والأخير

عدد الحدود (n)	١٠
الحد الأول (a₁)	١
الحد الأخير (aₙ)	١٩
متوسط الحدود	١٠

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تحسب هذه الأداة مجموع متتالية حسابية (تُعرف أيضًا بالمتوالية العددية) عندما تكون قد عرفت مسبقًا عدد حدودها وقيمة الحد الأول وقيمة الحد الأخير. وبدلًا من جمع كل حد على حدة يدويًا، يكفي أن تُدخل ثلاثة أرقام لتحصل على المجموع في الحال.

خط أعداد يوضح حدود المتتالية الحسابية من a1 إلى an بتباعد متساوٍ d — للمتتالية الحسابية فرق ثابت بين الحدود المتتالية، من الحد الأول a1 إلى الحد الأخير an.

طريقة الاستخدام

أدخل عدد الحدود n، ثم الحد الأول a₁، ثم الحد الأخير aₙ، واضغط على زر الحساب لتظهر لك قيمة المجموع. كما يعرض جدول النتائج متوسط الحدود، وهو ببساطة منتصف القيمة بين الحد الأول والحد الأخير — وهذا يمنحك حدسًا واضحًا لسبب نجاح القانون.

شرح القانون

يُعطى المجموع بالعلاقة التالية:

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

تعود الفكرة إلى العالم كارل فريدريش غاوس وهو لا يزال صغيرًا، ومفادها أنك إذا جمعت الحد الأول مع الأخير، ثم الحد الثاني مع ما قبل الأخير، وهكذا، فإن مجموع كل زوج يساوي القيمة نفسها $(a_1 + a_n)$. وبما أن عدد هذه الأزواج هو $n/2$، فإن المجموع الكلي يصبح $n(a_1 + a_n)/2$. ولأن المسافة بين كل حدين متتاليين ثابتة، فإن متوسط جميع الحدود يساوي متوسط الطرفين فحسب، ويكون المجموع هو ذلك المتوسط مضروبًا في عدد الحدود.

اعلان

صفّان من الأعمدة معكوسان مقترنان في أعمدة متساوية مجموع كل منها a1 زائد an — إقران المتسلسلة بمعكوسها يبيّن أن مجموع كل زوج هو (a1 + an)، ما يعطي Sn = n(a1 + an)/2.

مثال محلول

لنأخذ المتتالية 1، 3، 5، 7، ...، 19. هنا يكون $n = 10$ و $a_1 = 1$ و $a_n = 19$. ويُحسب المجموع كالتالي:

$$S = \frac{10 \times (1 + 19)}{2} = \frac{10 \times 20}{2} = 10 \times 10 = 100$$

وإذا جمعت الأعداد الفردية العشرة مباشرةً (1+3+5+7+9+11+13+15+17+19) فستحصل أيضًا على 100، وهو ما يؤكد صحة القانون.

اعلان

التعاريف والمسرد

المتسلسلة الحسابية / التدرج الحسابي: مجموع حدود المتتالية الحسابية — قائمة أرقام يختلف كل حد فيها عن الحد السابق بمقدار ثابت. المتتالية نفسها (1، 4، 7، 10، …) هي التدرج؛ والمجموع المضاف (1 + 4 + 7 + 10) هي المتسلسلة.
n — عدد الحدود: عدد الحدود التي يتم إضافتها معًا. يجب أن يكون رقمًا صحيحًا موجبًا؛ في $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$، فهو يقيس المجموع.
a₁ — الحد الأول: القيمة الابتدائية للمتتالية، الحد حيث يبدأ الجمع.
aₙ — الحد الأخير: الحد النهائي المُدرج في المجموع (الحد $n$ في الرتبة). معًا مع $a_1$، فهو يحدد نطاق القيم المضافة.
d — الفرق المشترك: المقدار الثابت المضاف للانتقال من حد إلى الحد التالي، $d = a_{k+1} - a_k$. يمكن إيجاده من نقاط النهاية على النحو التالي $d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$. يعطي الفرق الموجب d متتالية متزايدة؛ والفرق السالب d يعطي متتالية متناقصة.
الحد المتوسط: متوسط جميع الحدود، وهو يساوي $\frac{a_1 + a_n}{2}$ (أيضًا $\frac{S_n}{n}$). بما أن الحدود موزعة بالتساوي، فإن المتوسط هو ببساطة نقطة منتصف الحد الأول والأخير، وهذا هو السبب في أن $S_n = n \times \text{(الحد المتوسط)}$.

الأسئلة الشائعة

هل يجب أن تكون الحدود أعدادًا صحيحة؟ لا. يصلح القانون لأي متتالية حسابية، بما في ذلك الأعداد العشرية والسالبة، شريطة أن تكون المسافة بين كل حدين متتاليين ثابتة.

ماذا لو لم أعرف الحد الأخير؟ إذا كنت تعرف الأساس (الفرق المشترك) $d$ بدلًا من ذلك، فاحسب أولًا $a_n = a_1 + (n - 1)d$ ثم استخدم هذه الحاسبة — أو استعمل الصيغة المكافئة $S_n = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n - 1)d\right]$.

هل يمكن أن يكون n عددًا عشريًا؟ في المتتالية الحقيقية يكون $n$ عددًا صحيحًا موجبًا (أي عدد الحدود). ومع أن الحاسبة ستُجري العملية الحسابية على أي حال، فمن الأفضل استخدام عدد صحيح للحصول على نتائج ذات معنى.