ما هي حاسبة احتمال الأحداث المستقلة؟
تحسب هذه الأداة الاحتمال المشترك لحدثين مستقلين هما A وB. يُعدّ الحدثان مستقلّين عندما لا يؤثر وقوع أحدهما إطلاقًا في احتمال وقوع الآخر — مثل رمي قطعة نقود ورمي حجر النرد في الوقت ذاته. أدخِل احتمال كل حدث على حدة لتحصل فورًا على احتمال وقوع الحدثين معًا، واحتمال وقوع أحدهما على الأقل، واحتمال ألا يقع أيٌّ منهما.
كيفية الاستخدام
أدخِل احتمال الحدث A والحدث B في صورة عدد بين 0 و1 (فالاحتمال 50% يساوي 0.5)، ثم اضغط على زر الحساب. تعرض الأداة ما يلي:
- P(A و B) — وقوع الحدثين معًا.
- P(A أو B) — وقوع أحد الحدثين على الأقل.
- P(لا أحدهما) — عدم وقوع أيٍّ من الحدثين.
شرح المعادلة
بالنسبة إلى الأحداث المستقلة يكون الاحتمال المشترك ببساطة حاصل ضرب الاحتمالين الفرديين:
$$P(A \cap B) = \text{P(A)} \times \text{P(B)}$$
أما احتمال وقوع أحد الحدثين على الأقل فيُحسب بقاعدة الجمع (الشمول والاستبعاد)، حيث يكون التداخل مساويًا لحاصل الضرب لأن الحدثين مستقلان:
$$P(A \cup B) = \text{P(A)} + \text{P(B)} - \text{P(A)} \times \text{P(B)}$$
واحتمال ألا يقع أيٌّ من الحدثين هو حاصل ضرب المُتمّمات:
$$P(\text{neither}) = \left(1 - \text{P(A)}\right)\left(1 - \text{P(B)}\right)$$
مثال محلول
لنفترض أن \(P(A) = 0.5\) و\(P(B) = 0.4\)، فيكون:
- $$P(A \cap B) = 0.5 \times 0.4 = 0.20$$
- $$P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.20 = 0.70$$
- $$P(\text{neither}) = (1 - 0.5)(1 - 0.4) = 0.5 \times 0.6 = 0.30$$
لاحظ أن \(P(A \cup B) + P(\text{neither}) = 0.70 + 0.30 = 1.00\)، وهذه طريقة مفيدة للتحقق من صحة النتائج.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعني كلمة «مستقل»؟ يكون الحدثان مستقلّين إذا كانت معرفة نتيجة أحدهما لا تخبرك بشيء عن الآخر. ولا تنطبق قاعدة الضرب \(P(A \cap B) = \text{P(A)} \times \text{P(B)}\) إلا على الأحداث المستقلة.
هل يمكنني إدخال النسب المئوية؟ حوِّلها أولًا إلى صورة عشرية: فتصبح 25% هي 0.25. ويجب أن تكون جميع المُدخلات بين 0 و1.
وماذا لو لم يكن الحدثان مستقلّين؟ عندئذٍ يجب استخدام الاحتمال الشرطي، \(P(A \cap B) = \text{P(A)} \times P(B|A)\)، وستعطي هذه الحاسبة نتيجة أكبر أو أصغر من الحقيقية.
