ما المقصود باحتمال وقوع k نجاح على الأكثر؟
تحسب هذه الأداة الاحتمال التراكمي للتوزيع ذي الحدين \(P(X \le k)\)، أي احتمال الحصول على k نجاح على الأكثر خلال n من المحاولات المستقلة، حين يكون احتمال نجاح كل محاولة هو p. وهي تجمع الاحتمالات الفردية للتوزيع ذي الحدين بدءًا من صفر نجاح وحتى k نجاح متضمنًا. ويمثل هذا الطرف الأدنى (دالة التوزيع التراكمي) للتوزيع ذي الحدين.
طريقة الاستخدام
أدخل عدد المحاولات n، والحد الأقصى k (أقصى عدد نجاحات تريد السماح به)، واحتمال النجاح في المحاولة الواحدة p كقيمة عشرية بين 0 و1. تعرض الأداة القيمة \(P(X \le k)\)، وصيغتها كنسبة مئوية، والمتمم \(P(X > k)\)، والعدد المتوقع للنجاحات \(np\).
شرح المعادلة
يُعطى احتمال وقوع i من النجاحات بالضبط بالحد ذي الحدين \(\binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}\)، حيث يمثل \(\binom{n}{i}\) عدد الطرق الممكنة لاختيار المحاولات الـ i التي تنجح. وللحصول على «k نجاح على الأكثر» نجمع هذه الحدود عند \(i = 0, 1, \ldots, k\):
$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}$$وتعتمد الحاسبة على علاقة تكرارية مستقرة عدديًا بين الحدود المتتالية، مما يحافظ على دقة النتائج حتى عند القيم الكبيرة لـ n.
مثال محلول
افترض أنك ترمي قطعة نقود متزنة 10 مرات (\(n = 10\)، \(p = 0.5\)) وتريد احتمال الحصول على 3 صور على الأكثر (\(k = 3\)). بجمع الحدود لـ 0 و1 و2 و3 نجاحات نحصل على الأعداد \(1 + 10 + 45 + 120 = 176\) نتيجة مواتية من أصل \(2^{10} = 1024\)، فيكون $$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} \approx 0.171875,$$ أي نحو 17.19٪.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين «k على الأكثر» و«k بالضبط»؟ «k بالضبط» هو حد واحد فقط \(\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\)، بينما «k على الأكثر» يجمع كل الحدود من 0 إلى k.
كيف أحصل على «k على الأقل» بدلًا من ذلك؟ استخدم \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\). ويعطيك صف المتمم هنا القيمة \(P(X > k) = 1 - P(X \le k)\).
هل يمكن أن تكون p مساوية لـ 0 أو 1؟ نعم. إذا كانت \(p = 0\) فإن كل محاولة تفشل، ومن ثم يكون \(P(X \le k) = 1\) لأي \(k \ge 0\)؛ وإذا كانت \(p = 1\) فإن كل محاولة تنجح، ولا تساوي النتيجة 1 إلا عندما يكون \(k \ge n\).
