ما هو الاحتمال الثنائي التراكمي؟
يمنحك الاحتمال الثنائي التراكمي \(P(X \le \text{k})\) فرصة الحصول على k نجاحًا على الأكثر ضمن n من المحاولات المستقلة، حيث يكون لكل محاولة نفس احتمال النجاح p. وهو ببساطة حاصل جمع الاحتمالات الثنائية الفردية بدءًا من صفر نجاح وصولًا إلى k نجاحًا. هذه الحاسبة عامة وتنطبق على أي تجربة ثنائية مثل رمي العملة، أو فحص عينات مراقبة الجودة، أو اختبارات النجاح/الرسوب.
طريقة استخدام الحاسبة
أدخل ثلاث قيم: عدد المحاولات (n)، وعدد النجاحات الذي تريده كحدٍّ أعلى (k)، واحتمال النجاح في كل محاولة (p، وهي قيمة بين 0 و1). تُرجع الأداة الاحتمال التراكمي \(P(X \le \text{k})\) إلى جانب عدة مقادير ذات صلة: الاحتمال الدقيق \(P(X = \text{k})\)، واحتمالات الطرف الأيمن \(P(X > \text{k})\) و\(P(X \ge \text{k})\)، والوسط الحسابي للتوزيع \(\text{n} \times \text{p}\).
شرح المعادلة
$$P(X \le \text{k}) = \sum_{i=0}^{\text{k}} \binom{\text{n}}{i}\, \text{p}^{\,i}\,\left(1-\text{p}\right)^{\text{n}-i}$$ يستخدم كل حد المعامل الثنائي \(C(\text{n},i) = \frac{\text{n}!}{i!(\text{n}-i)!}\)، الذي يحسب عدد الطرق الممكنة لوقوع i نجاحًا، مضروبًا في \(\text{p}^i\) (احتمال تحقق تلك النجاحات) وفي \((1-\text{p})^{\text{n}-i}\) (احتمال تحقق الإخفاقات المتبقية). وبجمع هذه الحدود من \(i = 0\) إلى k نحصل على القيمة التراكمية. وللحفاظ على الاستقرار العددي عند القيم الكبيرة لـ n، تبني الحاسبة كل حدٍّ انطلاقًا من الحد السابق باستخدام النسبة \(\frac{\text{n}-i}{i+1} \times \frac{\text{p}}{1-\text{p}}\).
مثال محلول
لنفترض أنك رميت عملة متزنة 10 مرات (\(\text{n} = 10\)، \(\text{p} = 0.5\)) وسألت عن احتمال الحصول على 3 صور على الأكثر (\(\text{k} = 3\)). الحدود الأربعة المعنية هي $$C(10,0)+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3) = 1 + 10 + 45 + 120 = 176$$ وكل منها مضروب في \(0.5^{10} = \frac{1}{1024}\). وبذلك يكون $$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} = 0.171875.$$
تفسير النتيجة
P(X ≤ k) احتمال تراكمي. يجيب على السؤال "ما فرصة الحصول على أقصاها k نجاح؟" بإضافة احتمالات 0، 1، 2، ...، حتى k نجاح. وهو دائماً بين 0 و 1 ولا يتناقص أبداً مع زيادة k.
P(X = k) نقطة واحدة. وهو احتمال بالضبط k نجاح — حد واحد في المجموع التراكمي. إذاً \(P(X\le k)\) يكون دائماً على الأقل بقدر \(P(X=k)\)، و \(P(X\le k)-P(X\le k-1)=P(X=k)\).
الطرفان اثنان. الطرف الأيمن \(P(X>k)=1-P(X\le k)\) هو فرصة أكثر من k نجاح، بينما \(P(X\ge k)=P(X>k)+P(X=k)\) يشمل k نفسه. لأن المتغير هو عدد صحيح من النجاحات، فإن متمم \(P(X\ge k)=P(X\le k-1)\) هو نقطة التباس شائعة — تحقق دائماً ما إذا كان يجب تضمين أو استبعاد قيمة الحد k.
المتوسط. العدد المتوقع من النجاحات هو \(\mu = n\cdot p\). بالنسبة لـ n = 20 تجربة مع p = 0.05 فإن ذلك يعني \(\mu = 1\) معيب في المتوسط؛ بالنسبة لـ n = 10 مع p = 0.9 فإنه \(\mu = 9\). مقارنة k بالمتوسط تخبرك ما إذا كنت تنظر إلى نتيجة محتملة (k قريب من \(n\cdot p\)) أم حدث ذيلي (k بعيد عنه).
قراءة رقم مثل 0.17. نتيجة \(P(X\le k)=0.17\) تعني أن هناك فرصة بنسبة 17% للحصول على أقصاها k نجاح — وبالتالي فرصة بنسبة 83% للحصول على أكثر من k. اضرب في 100 لقراءته كنسبة مئوية.
عندما يكون الطرف الأيمن مهماً. احتمالات الطرف الأيمن مركزية لعتبات القرار والاختبارات الإحصائية. إذا لاحظت k نجاح وأردت أن تعرف مدى غرابة ذلك تحت p مفترض، فإن قيمة الطرف العلوي \(P(X\ge k)\) تعمل كقيمة p أحادية الجانب: قيمة صغيرة (شائعاً أقل من 0.05) تقترح أن النتيجة غير محتملة بالصدفة وحدها. هذا هو كيفية تحديد خطط قبول العينات الحد الأقصى المقبول لعدد العيوب وكيفية جعل اختبارات A/B تعلم عن عدد النجاحات العالي بشكل غير عادي.
التعريفات والمسرد
- n — عدد التجارب. العدد الثابت من التكرارات المستقلة للتجربة (على سبيل المثال، 20 عنصراً مفتشاً، 10 رميات عملة).
- k — حد النجاح. عدد النجاحات محل الاهتمام. في \(P(X\le k)\) فإنه أكبر عدد نجاح يتم تضمينه في المجموع التراكمي؛ k هو عدد صحيح من 0 إلى n.
- p — احتمال النجاح. فرصة "النجاح" على تجربة واحدة، نفسها في كل تجربة، مع \(0\le p\le 1\).
- نجاح / فشل. النتيجتان المتنافيتان لكل تجربة. "النجاح" هو ببساطة النتيجة التي تحسبها؛ متممتها، "الفشل"، لها احتمال \(1-p\).
- معامل ذات الحدين C(n, i). مكتوبة \(\binom{n}{i}=\dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}\)، فإنها تحسب عدد الطرق المختلفة لترتيب i نجاح بين n تجربة.
- الاحتمال التراكمي. \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\)، الاحتمال الكلي لـ k أو أقل من النجاحات.
- احتمال الذيل. الاحتمال في طرف واحد من التوزيع: الطرف الأيمن (العلوي) \(P(X>k)=1-P(X\le k)\)، أو الطرف العلوي الشامل \(P(X\ge k)\). يُستخدم للعتبات والقيم الاحتمالية.
- المتوسط (القيمة المتوقعة). \(\mu = n\cdot p\)، متوسط عدد النجاحات على المدى الطويل لكل n تجربة.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين \(P(X \le \text{k})\) و\(P(X = \text{k})\)؟ إن \(P(X = \text{k})\) هو احتمال الحصول على k نجاحًا بالضبط، بينما يجمع \(P(X \le \text{k})\) كل النتائج بدءًا من 0 حتى k شاملةً إياه.
كيف أحصل على \(P(X \ge \text{k})\)؟ استخدم العلاقة \(P(X \ge \text{k}) = 1 - P(X \le \text{k}) + P(X = \text{k})\)، وهي التي تعرضها هذه الأداة تلقائيًا.
هل يمكن أن تكون p مساوية لـ 0 أو 1؟ نعم. إذا كانت \(\text{p} = 0\) فلن تنجح أبدًا، ومن ثَمَّ يكون \(P(X \le \text{k}) = 1\) لأي \(\text{k} \ge 0\)؛ أما إذا كانت \(\text{p} = 1\) فإن جميع المحاولات تنجح.
