누적 이항확률이란?

누적 이항확률 $P(X \le k)$는 매 시행마다 성공 확률 $p$가 동일하고 서로 독립인 $n$번의 시행에서 성공이 최대 k번까지 나올 확률을 말합니다. 성공 횟수가 0번일 때부터 k번일 때까지의 개별 이항확률을 모두 더한 값이죠. 이 계산기는 동전 던지기, 품질 관리 표본 검사, 합격·불합격 시험 등 어떤 이항 실험에도 두루 활용할 수 있습니다.

누적 확률을 나타내기 위해 k까지의 막대를 음영 처리한 이항분포 막대그래프 — $P(X \le k)$는 이항분포에서 0부터 k까지 음영 처리된 막대의 합입니다.

계산기 사용 방법

세 가지 값만 입력하면 됩니다. 시행 횟수($n$), 기준이 되는 성공 횟수($k$), 그리고 한 번의 시행에서의 성공 확률($p$, 0과 1 사이의 값)입니다. 그러면 누적 확률 $P(X \le k)$는 물론, 정확히 k번 성공할 확률 $P(X = k)$, 오른쪽 꼬리 확률 $P(X > k)$와 $P(X \ge k)$, 그리고 분포의 평균 $n \times p$까지 한 번에 보여 줍니다.

공식 풀이

각 항에는 이항계수 $C(n,i) = \dfrac{n!}{i!(n-i)!}$가 쓰이며, 이는 i번의 성공이 일어날 수 있는 경우의 수를 나타냅니다. 여기에 그 성공이 일어날 확률 $p^i$와 나머지 시행이 실패할 확률 $(1-p)^{n-i}$를 곱합니다. 이 항들을 i = 0부터 k까지 더하면 누적 확률이 됩니다.

$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\,\left(1-p\right)^{n-i}$$

n이 큰 경우에도 수치적으로 안정적으로 계산하기 위해, 이 계산기는 각 항을 바로 앞 항에 $\dfrac{n-i}{i+1} \times \dfrac{p}{1-p}$ 비율을 곱해 구합니다.

이항 막대그래프에서 P(X<k), P(X=k), P(X>k) 영역을 보여주는 도표 — 분포는 누적 영역 $P(X \le k)$와 상위 꼬리 $P(X > k)$로 나뉩니다.

예제로 살펴보기

공정한 동전을 10번 던지고($n = 10$, $p = 0.5$), 앞면이 최대 3번 나올 확률($k = 3$)을 구한다고 해 봅시다. 관련된 네 항은 $$C(10,0)+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3) = 1 + 10 + 45 + 120 = 176$$이고, 각각에 $0.5^{10} = \frac{1}{1024}$를 곱합니다. 따라서 $$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} = 0.171875$$가 됩니다.

결과 해석

P(X ≤ k)는 누적 확률입니다. "최대 k번의 성공이 나올 확률은?"이라는 질문에 답하며, 0, 1, 2, …, k번의 성공 확률을 모두 더합니다. 항상 0과 1 사이의 값이며 k가 증가하면서 감소하지 않습니다.

P(X = k)는 한 점입니다. 정확히 k번의 성공이 나올 확률이며, 누적합의 한 항입니다. 따라서 $P(X\le k)$는 항상 $P(X=k)$보다 크거나 같으며, $P(X\le k)-P(X\le k-1)=P(X=k)$입니다.

두 개의 꼬리. 오른쪽 꼬리 $P(X>k)=1-P(X\le k)$는 k번보다 많은 성공의 확률이고, $P(X\ge k)=P(X>k)+P(X=k)$는 k 자체를 포함합니다. 변수가 정수인 성공 횟수이므로 $P(X\ge k)=P(X\le k-1)$의 여사건이 혼동하기 쉬운 부분입니다 — 항상 경계값 k가 포함되어야 하는지 제외되어야 하는지 확인하세요.

평균. 예상되는 성공 횟수는 $\mu = n\cdot p$입니다. n = 20회 시행, p = 0.05일 때 $\mu = 1$개의 불량품이 평균입니다. n = 10, p = 0.9일 때는 $\mu = 9$입니다. k를 평균과 비교하면 가능성 높은 결과(k가 $n\cdot p$에 가까움)인지 극단적 사건(k가 멀리 떨어져 있음)인지 알 수 있습니다.

0.17 같은 숫자를 읽기. $P(X\le k)=0.17$이라는 결과는 최대 k번의 성공이 나올 확률이 17%라는 뜻입니다 — 따라서 k번보다 많은 성공이 나올 확률은 83%입니다. 백분율로 읽으려면 100을 곱하세요.

오른쪽 꼬리가 중요할 때. 오른쪽 꼬리 확률은 의사결정 기준과 가설검정의 핵심입니다. k번의 성공을 관찰했을 때 가정된 p 하에서 그것이 얼마나 놀라운지 알고 싶다면, 상부 꼬리 값 $P(X\ge k)$는 단측 p값으로 작용합니다. 작은 값(일반적으로 0.05 이하)은 그 결과가 우연만으로는 가능성이 낮다는 뜻입니다. 이는 수용 표본추출 계획에서 최대 허용 불량품 개수를 정하는 방식이며, A/B 검정에서 비정상적으로 높은 성공 횟수를 표시하는 방식입니다.

정의 & 용어집

n — 시행 횟수. 실험을 반복하는 고정된 독립적 반복 횟수(예: 검사된 20개 품목, 10번의 동전 던지기).
k — 성공 경계값. 관심 있는 성공의 개수입니다. $P(X\le k)$에서는 누적합에 포함되는 가장 큰 성공 횟수이며, k는 0부터 n까지의 정수입니다.
p — 성공 확률. 한 번의 시행에서 "성공"할 확률이며, 모든 시행에서 동일하고 $0\le p\le 1$입니다.
성공 / 실패. 각 시행의 두 개의 상호 배타적 결과입니다. "성공"은 단순히 세는 결과이며, 이의 여사건인 "실패"는 확률이 $1-p$입니다.
이항계수 C(n, i). $\binom{n}{i}=\dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}$로 표기되며, n번의 시행 중 i번의 성공을 배열하는 서로 다른 방법의 개수를 셉니다.
누적 확률. $P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$이며, k번 이하의 성공 확률의 합입니다.
꼬리 확률. 분포의 한쪽 끝에 있는 확률입니다. 오른쪽(상부) 꼬리 $P(X>k)=1-P(X\le k)$ 또는 포함적 상부 꼬리 $P(X\ge k)$입니다. 기준값과 p값에 사용됩니다.
평균(기댓값). $\mu = n\cdot p$이며, n번의 시행당 장기 평균 성공 횟수입니다.

자주 묻는 질문

P(X ≤ k)와 P(X = k)는 무엇이 다른가요? $P(X = k)$는 정확히 k번 성공할 확률이고, $P(X \le k)$는 0번부터 k번까지의 모든 결과를 합한 확률입니다.

P(X ≥ k)는 어떻게 구하나요? $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k) + P(X = k)$ 관계를 이용하면 되며, 이 계산기가 자동으로 알려 줍니다.

p가 0이나 1이어도 되나요? 됩니다. $p = 0$이면 절대 성공할 수 없으므로 $k \ge 0$인 모든 경우에 $P(X \le k) = 1$이고, $p = 1$이면 모든 시행이 성공합니다.

정확히 P(X = k)	0.117188
P(X > k)	0.828125
P(X ≥ k)	0.945312
Mean (n × p)	5

누적 이항확률 계산기

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