累積二項分布確率とは？
累積二項分布確率 \(P(X \le \text{k})\) とは、各試行の成功確率がすべて同じ \(p\) であるような \(n\) 回の独立した試行において、成功回数が k 回以下になる確率のことです。成功回数 0 回から k 回までの個々の二項確率をすべて足し合わせて求めます。この計算ツールは汎用的で、コイン投げ、品質管理の抜き取り検査、合否判定など、あらゆる二項試行（ベルヌーイ試行の繰り返し）に利用できます。
計算ツールの使い方
入力するのは次の3つの値です。試行回数（\(n\)）、成功回数の上限とする値（\(k\)）、そして1回あたりの成功確率（\(p\)：0〜1の値）。これらを入力すると、累積確率 \(P(X \le \text{k})\) に加えて、関連する複数の値も同時に得られます。具体的には、ちょうど k 回成功する確率 \(P(X = \text{k})\)、右側の裾の確率 \(P(X > \text{k})\) と \(P(X \ge \text{k})\)、そして分布の平均値 \(n \times p\) です。
計算式の解説
各項では、まず二項係数 \(C(n,i) = n! / (i!(n-i)!)\) を使います。これは「i 回の成功が何通りの並び方で起こり得るか」を数えたものです。これに \(p^i\)（その成功が起こる確率）と \((1-p)^{n-i}\)（残りがすべて失敗となる確率）を掛けます。この項を i = 0 から k まで足し合わせると累積確率が求まります。 $$P(X \le \text{k}) = \sum_{i=0}^{\text{k}} \binom{\text{n}}{i}\, \text{p}^{\,i}\,\left(1-\text{p}\right)^{\text{n}-i}$$ n が大きい場合でも数値的に安定させるため、この計算ツールでは比率 \((n-i)/(i+1) \times p/(1-p)\) を使って、各項を一つ前の項から順に計算していく方式を採用しています。
計算例
たとえば、公平なコインを10回投げる場合（\(n = 10\)、\(p = 0.5\)）に、表が3回以下になる確率（\(k = 3\)）を求めてみましょう。関係する4つの項は $$C(10,0)+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3) = 1 + 10 + 45 + 120 = 176$$ となり、それぞれに \(0.5^{10} = 1/1024\) を掛けます。したがって $$P(X \le 3) = 176/1024 = 0.171875$$ となります。
結果の解釈
P(X ≤ k) は累積確率です。 それは「最大 k 回の成功を得る確率はいくらか？」という問いに答え、0、1、2、…、k 回の成功の確率を足し合わせることで得られます。常に 0 から 1 の間にあり、k が増加しても減少しません。
P(X = k) は単一の点です。 これはちょうど k 回の成功の確率です（累積和の 1 つの項）。したがって \(P(X\le k)\) は常に \(P(X=k)\) 以上であり、\(P(X\le k)-P(X\le k-1)=P(X=k)\) が成り立ちます。
2 つの尾部。 右側の尾部 \(P(X>k)=1-P(X\le k)\) は k 回より多くの成功の確率で、\(P(X\ge k)=P(X>k)+P(X=k)\) は k 自身を含みます。確率変数は成功の整数個であるため、\(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\) という補集合は混乱しやすい点です。カットオフ値 k をカウントに含めるべきか除外すべきかを常に確認してください。
平均。 期待される成功数は \(\mu = n\cdot p\) です。n = 20 回の試行で p = 0.05 の場合、平均して \(\mu = 1\) 個の不良品ですが、n = 10 で p = 0.9 の場合は \(\mu = 9\) です。あなたの k を平均と比較することで、あなたが可能性の高い結果（k が \(n\cdot p\) 付近）を見ているのか、それとも尾部の事象（k がそれから遠い）を見ているのかが分かります。
0.17 のような数字を読む。 \(P(X\le k)=0.17\) という結果は、最大 k 回の成功を得る確率が 17% であることを意味します（したがって k 回より多くの成功を得る確率は 83%）。パーセンテージで読むには 100 を掛けてください。
右側尾部が重要な場合。 右側尾部確率は意思決定の閾値と仮説検定の中心です。k 回の成功を観測し、それが仮定された p の下でどの程度驚くべきかを知りたい場合、上側尾部値 \(P(X\ge k)\) は片側 p 値として機能します。小さい値（一般に 0.05 未満）は、その結果がたまたまである可能性が低いことを示唆しています。これが受け入れサンプリング計画が不良品の最大許容数を設定する方法であり、A/B テストが異常に高い成功数をフラグする方法です。
定義とグロッサリー
- n — 試行回数。 実験の固定された独立した繰り返しの数（例：検査される 20 個の項目、10 回のコイン投げ）。
- k — 成功のカットオフ。 関心のある成功数。\(P(X\le k)\) では、それは累積和に含まれる最大成功数です；k は 0 から n までの整数です。
- p — 成功確率。 単一の試行における「成功」の確率。すべての試行で同じで、\(0\le p\le 1\) です。
- 成功 / 失敗。 各試行の 2 つの相互排他的な結果。「成功」は単純にあなたがカウントしている結果です；その補集合である「失敗」の確率は \(1-p\) です。
- 二項係数 C(n, i)。 \(\binom{n}{i}=\dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}\) と書かれ、n 回の試行の中に i 回の成功を配置する異なる方法の数をカウントします。
- 累積確率。 \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\)、k 回以下の成功の合計確率です。
- 尾部確率。 分布の片方の端での確率：右側（上側）尾部 \(P(X>k)=1-P(X\le k)\)、または包括的な上側尾部 \(P(X\ge k)\)。閾値と p 値に使用されます。
- 平均（期待値）。 \(\mu = n\cdot p\)、n 回の試行あたりの成功の長期的平均数です。
よくある質問（FAQ）
P(X ≤ k) と P(X = k) は何が違うのですか？ \(P(X = \text{k})\) はちょうど k 回成功する確率であるのに対し、\(P(X \le \text{k})\) は 0 回から k 回までのすべての結果を足し合わせた確率です。
P(X ≥ k) はどうやって求めますか？ \(P(X \ge \text{k}) = 1 - P(X \le \text{k}) + P(X = \text{k})\) という関係式を使います。この計算ツールでは自動的に算出して表示します。
p に 0 や 1 を指定できますか？ はい、できます。\(p = 0\) の場合は絶対に成功しないため、\(k \ge 0\) のどんな値でも \(P(X \le \text{k}) = 1\) になります。\(p = 1\) の場合はすべての試行が成功します。
