什么是累积二项分布概率？
累积二项分布概率 \(P(X \le k)\) 表示在 n 次相互独立的试验中，成功次数不超过 k 次的概率，其中每次试验的成功概率 p 都相同。它把成功次数从 0 到 k 的所有单项概率逐一相加。本计算器是通用工具，适用于任何二项试验场景，比如抛硬币、质量抽检或通过/不通过测试。
如何使用本计算器
只需填入三个数值：试验次数 n、作为分界点的成功次数 k，以及每次试验的成功概率 p（取值在 0 到 1 之间）。计算器会返回累积概率 \(P(X \le k)\)，并附带几个相关结果：恰好取得 k 次成功的精确概率 \(P(X = k)\)、右尾概率 \(P(X > k)\) 与 \(P(X \ge k)\)，以及分布均值 \(n \times p\)。
公式详解
每一项都用到二项系数 \(C(n,i) = \frac{n!}{i!(n-i)!}\)，它表示 i 次成功有多少种排列组合方式；再乘以 \(p^i\)（这些成功发生的概率）和 \((1-p)^{n-i}\)（其余失败发生的概率）。把 i 从 0 到 k 的各项相加，即得累积值。完整公式为：
$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\,\left(1-p\right)^{n-i}$$为了在 n 很大时保持数值稳定，计算器采用递推方式，用比值 \(\frac{n-i}{i+1} \times \frac{p}{1-p}\) 由前一项推出后一项。
实例演算
假设你抛一枚均匀硬币 10 次（\(n = 10\)，\(p = 0.5\)），想知道正面最多出现 3 次（\(k = 3\)）的概率。相关的四项为 \(C(10,0)+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3) = 1 + 10 + 45 + 120 = 176\)，每一项都要乘以 \(0.5^{10} = \frac{1}{1024}\)。于是 $$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} = 0.171875.$$
解释您的结果
P(X ≤ k) 是一个累积概率。 它回答"获得最多 k 次成功的概率是多少？"通过将 0、1、2、…、直到 k 次成功的概率相加。它始终介于 0 和 1 之间，并且随着 k 的增加不会减少。
P(X = k) 是一个单点。 它是恰好 k 次成功的概率——累积和中的一项。因此 \(P(X\le k)\) 总是至少与 \(P(X=k)\) 一样大，且 \(P(X\le k)-P(X\le k-1)=P(X=k)\)。
两条尾部。 右尾 \(P(X>k)=1-P(X\le k)\) 是超过 k 次成功的概率，而 \(P(X\ge k)=P(X>k)+P(X=k)\) 包括 k 本身。由于该变量是整数个成功次数，\(P(X\ge k)=P(X\le k-1)\) 的补集是常见的混淆点——始终检查截断值 k 是否应该包括在内或排除在外。
平均值。 期望的成功次数是 \(\mu = n\cdot p\)。对于 n = 20 次试验，p = 0.05，即 \(\mu = 1\) 次平均缺陷；对于 n = 10，p = 0.9，即 \(\mu = 9\)。将您的 k 与平均值进行比较可以判断您是在查看可能的结果（k 接近 \(n\cdot p\)）还是尾部事件（k 远离它）。
读取像 0.17 这样的数字。 \(P(X\le k)=0.17\) 的结果意味着获得最多 k 次成功的概率是 17% ——因此获得超过 k 次的概率是 83%。乘以 100 即可将其读作百分比。
当右尾很重要时。 右尾概率是决策阈值和假设检验的核心。如果您观察到 k 次成功，并想知道在假设的 p 下这有多令人惊讶，上尾值 \(P(X\ge k)\) 充当单侧 p 值：较小的值（通常低于 0.05）表明结果不太可能仅由于偶然而发生。这是接受抽样计划设置最大可容许缺陷数的方式，以及 A/B 测试标记异常高成功计数的方式。
定义与词汇表
- n — 试验次数。 实验重复的固定计数（例如 20 个检查的项目、10 次硬币翻转）。
- k — 成功截断。 感兴趣的成功次数。在 \(P(X\le k)\) 中，它是累积和中包含的最大成功计数；\(k\) 是从 0 到 n 的整数。
- p — 成功概率。 单次试验中"成功"的概率，对每次试验都相同，其中 \(0\le p\le 1\)。
- 成功 / 失败。 每次试验的两个互斥结果。"成功"只是您正在计数的结果；其补集"失败"的概率为 \(1-p\)。
- 二项式系数 C(n, i)。 写作 \(\binom{n}{i}=\dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}\)，它计算在 n 次试验中排列 i 次成功的不同方式数。
- 累积概率。 \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\)，k 次或更少成功的总概率。
- 尾部概率。 分布一端的概率：右（上）尾 \(P(X>k)=1-P(X\le k)\)，或包含性上尾 \(P(X\ge k)\)。用于阈值和 p 值。
- 平均值（期望值）。 \(\mu = n\cdot p\)，每 n 次试验中成功次数的长期平均值。
常见问题
P(X ≤ k) 和 P(X = k) 有什么区别？\(P(X = k)\) 是恰好取得 k 次成功的概率，而 \(P(X \le k)\) 则把从 0 到 k（含 k）的所有情况都加在一起。
怎么求 P(X ≥ k)？用公式 \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k) + P(X = k)\) 即可，本工具会自动帮你算出。
p 可以等于 0 或 1 吗？可以。如果 \(p = 0\)，则永远不会成功，因此对任意 \(k \ge 0\) 都有 \(P(X \le k) = 1\)；如果 \(p = 1\)，则所有试验都会成功。
