什么是"最多 k 次成功"的概率？
本计算器用于求二项分布累积概率 \(P(X \le k)\)：在 n 次相互独立的试验中、每次成功概率均为 p 的前提下，获得不超过 k 次成功的概率。它把从 0 次成功一直到 k 次成功的各项二项概率逐一相加，相当于二项分布的下尾部分（即累积分布函数 CDF）。
如何使用
依次输入试验次数 n、阈值 k（你允许的最大成功次数），以及单次成功概率 p（取 0 到 1 之间的小数）。计算器会给出 \(P(X \le k)\) 及其百分比形式、补概率 \(P(X > k)\)，以及成功次数的期望值 \(np\)。
公式详解
恰好出现 i 次成功的概率为二项项 \(\binom{n}{i} \cdot p^{i} \cdot (1-p)^{n-i}\)，其中 \(\binom{n}{i}\) 表示从 n 次试验中选出哪 i 次成功的组合数。要计算"最多 k 次"，只需把 i = 0, 1, …, k 的各项加起来：
$$P(X \le \text{k}) = \sum_{i=0}^{\text{k}} \binom{\text{n}}{i}\, \text{p}^{\,i}\, (1-\text{p})^{\,\text{n}-i}$$
计算器在相邻各项之间采用数值稳定的递推算法，即使 n 很大也能保持结果精确。
实例演算
假设抛一枚均匀硬币 10 次（\(n = 10\)，\(p = 0.5\)），想知道正面最多出现 3 次（\(k = 3\)）的概率。将 0、1、2、3 次成功的各项相加，得到有利结果数 \(1 + 10 + 45 + 120 = 176\)，而总情形数为 \(2^{10} = 1024\)，因此 $$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} \approx 0.171875$$ 约为 17.19%。
常见问题
"最多 k 次"和"恰好 k 次"有什么区别？"恰好 k 次"只是单独一项 \(\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\)，而"最多 k 次"则是把从 0 到 k 的所有项加在一起。
如何改为求"至少 k 次"？用公式 \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\)。本工具的补概率一栏给出的是 \(P(X > k) = 1 - P(X \le k)\)。
p 可以等于 0 或 1 吗？可以。若 \(p = 0\)，则每次都失败，对任意 \(k \ge 0\) 都有 \(P(X \le k) = 1\)；若 \(p = 1\)，则每次都成功，只有当 \(k \ge n\) 时结果才为 1。
