什麼是「最多 k 次成功」的機率？
這個計算器用來求出二項分布的累積機率 \(P(X \le k)\)，也就是在 n 次獨立試驗中，每次成功機率為 p 的條件下，成功次數不超過 k 次的機率。它會把從 0 次成功一直加到 k 次成功的所有個別機率全部加總起來，相當於二項分布的下尾（累積分布函數，CDF）。
如何使用
請輸入試驗次數 n、門檻值 k（你允許的最大成功次數），以及每次試驗的成功機率 p（介於 0 到 1 之間的小數）。計算器會回傳 \(P(X \le k)\)、對應的百分比、餘事件機率 \(P(X > k)\)，以及成功次數的期望值 \(np\)。
公式解析
恰好出現 i 次成功的機率為二項式項 \(\binom{n}{i}\, p^{i}\, (1-p)^{n-i}\)，其中 \(\binom{n}{i}\) 代表從 n 次試驗中挑出哪 i 次成功的組合數。要計算「最多 k 次」，就把 i = 0、1、…、k 的這些項全部相加。
$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}$$本計算器採用相鄰各項之間數值穩定的遞迴方式運算，即使 n 很大也能維持結果的準確度。
實例演練
假設你拋擲一枚公正硬幣 10 次（\(n = 10\)、\(p = 0.5\)），想知道最多出現 3 次正面（\(k = 3\)）的機率。把 0、1、2、3 次成功的各項相加，得到 \(1 + 10 + 45 + 120 = 176\) 種有利結果，總共有 \(2^{10} = 1024\) 種可能，因此 $$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} \approx 0.171875$$ 約為 17.19%。
常見問題
「最多 k 次」和「恰好 k 次」有什麼差別？「恰好 k 次」只是單一項 \(\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}\)；而「最多 k 次」則是把從 0 到 k 的所有項加總起來。
如果我想算「至少 k 次」該怎麼辦？可使用 \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\)。本計算器的餘事件欄位提供的是 \(P(X > k) = 1 - P(X \le k)\)。
p 可以是 0 或 1 嗎？可以。若 \(p = 0\)，代表每次試驗都失敗，因此只要 \(k \ge 0\)，\(P(X \le k)\) 都會等於 1；若 \(p = 1\)，代表每次試驗都成功，只有在 \(k \ge n\) 時機率才會是 1。
