Xác suất có tối đa k lần thành công là gì?
Công cụ này tính xác suất nhị thức tích lũy \(P(X \le k)\): khả năng đạt được nhiều nhất k lần thành công trong n phép thử độc lập, khi mỗi phép thử có xác suất thành công là p. Nó cộng dồn các xác suất nhị thức riêng lẻ từ 0 lần thành công cho đến k lần thành công (bao gồm cả k). Đây chính là phần đuôi dưới — tức hàm phân phối tích lũy (CDF) — của phân phối nhị thức.
Cách sử dụng
Nhập số phép thử n, ngưỡng k (số lần thành công nhiều nhất mà bạn muốn xét), và xác suất thành công của mỗi phép thử p dưới dạng số thập phân từ 0 đến 1. Công cụ sẽ trả về \(P(X \le k)\), giá trị dưới dạng phần trăm, phần bù \(P(X > k)\), và số lần thành công kỳ vọng \(np\).
Giải thích công thức
Xác suất có đúng i lần thành công là số hạng nhị thức \(\binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}\), trong đó \(\binom{n}{i}\) là số cách chọn ra i phép thử thành công. Để tính "tối đa k", ta cộng các số hạng này với \(i = 0, 1, \ldots, k\). Công thức đầy đủ là
$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}$$Công cụ sử dụng phép truy hồi ổn định về mặt số học giữa các số hạng liên tiếp, nhờ đó kết quả vẫn chính xác ngay cả khi n rất lớn.
Ví dụ minh họa
Giả sử bạn tung một đồng xu cân đối 10 lần (\(n = 10\), \(p = 0{,}5\)) và muốn tính xác suất có tối đa 3 lần ra mặt ngửa (\(k = 3\)). Cộng các số hạng cho 0, 1, 2 và 3 lần thành công, ta được \(1 + 10 + 45 + 120 = 176\) kết quả thuận lợi trên tổng \(2^{10} = 1024\) kết quả, nên
$$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} \approx 0{,}171875$$tức khoảng 17,19%.
Câu hỏi thường gặp
"Tối đa k" và "đúng k" khác nhau ở điểm nào? "Đúng k" chỉ là một số hạng duy nhất \(\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}\), trong khi "tối đa k" là tổng của tất cả các số hạng từ 0 đến k.
Làm sao để tính "ít nhất k"? Dùng công thức \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\). Dòng phần bù ở đây cho bạn \(P(X > k) = 1 - P(X \le k)\).
p có thể bằng 0 hoặc 1 không? Có. Nếu \(p = 0\) thì mọi phép thử đều thất bại, nên \(P(X \le k) = 1\) với mọi \(k \ge 0\); nếu \(p = 1\) thì mọi phép thử đều thành công, khi đó kết quả chỉ bằng 1 khi \(k \ge n\).
