अधिकतम k सफलताओं की प्रायिकता (द्विपद) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

परीक्षणों की संख्या (n)

अधिकतम k सफलताएँ (k)

सफलता की प्रायिकता (p)

परिणाम

P(X ≤ k)

0.171875

17.1875% chance

P(X ≤ k)	0.171875
P(X > k) = 1 − P(X ≤ k)	0.828125
अपेक्षित सफलताएँ (np)	5

अधिकतम k सफलताओं की प्रायिकता क्या है?

यह कैलकुलेटर संचयी द्विपद प्रायिकता \(P(X \le k)\) निकालता है — यानी n स्वतंत्र परीक्षणों में अधिकतम k सफलताएँ मिलने की संभावना, जबकि हर परीक्षण में सफलता की प्रायिकता p हो। यह 0 सफलताओं से लेकर k सफलताओं तक की सभी अलग-अलग द्विपद प्रायिकताओं को जोड़ देता है। दरअसल यह द्विपद बंटन का निचला-पुच्छ (संचयी बंटन फलन, CDF) है।

\(P(X \le k)\) 0 से लेकर k तक (k सहित) रंगी हुई पट्टियों का योग है।

इसका उपयोग कैसे करें

परीक्षणों की संख्या n, सीमा k (आप अधिक से अधिक कितनी सफलताएँ चाहते हैं) और प्रति-परीक्षण सफलता की प्रायिकता p को 0 और 1 के बीच एक दशमलव के रूप में दर्ज करें। यह टूल आपको \(P(X \le k)\), उसका प्रतिशत रूप, पूरक \(P(X > k)\) और सफलताओं की अपेक्षित संख्या \(np\) दिखाता है।

सूत्र की व्याख्या

ठीक i सफलताओं की प्रायिकता द्विपद पद \(\binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}\) होती है, जहाँ \(\binom{n}{i}\) यह बताता है कि कौन-से i परीक्षण सफल होंगे उसे चुनने के कितने तरीके हैं। "अधिकतम k" पाने के लिए हम \(i = 0, 1, \ldots, k\) के लिए इन सभी पदों को जोड़ते हैं:

$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}$$

कैलकुलेटर लगातार पदों के बीच एक संख्यात्मक रूप से स्थिर पुनरावृत्ति (recurrence) का प्रयोग करता है, जिससे बड़े n के लिए भी परिणाम सटीक बने रहते हैं।

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प्रत्येक पद i सफलताओं को चुनने के तरीकों की संख्या को उनकी प्रायिकता के साथ जोड़ता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए आप एक न्यायसंगत सिक्के को 10 बार उछालते हैं (\(n = 10\), \(p = 0.5\)) और अधिकतम 3 बार चित (\(k = 3\)) आने की प्रायिकता जानना चाहते हैं। 0, 1, 2 और 3 सफलताओं के पदों को जोड़ने पर हमें \(1 + 10 + 45 + 120 = 176\) अनुकूल परिणाम मिलते हैं, कुल \(2^{10} = 1024\) परिणामों में से। इसलिए $$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} \approx 0.171875,$$ यानी लगभग 17.19%।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

"अधिकतम k" और "ठीक k" में क्या अंतर है? "ठीक k" एक ही पद होता है — \(\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\), जबकि "अधिकतम k" में 0 से k तक के सभी पदों का योग किया जाता है।

इसके बजाय "कम से कम k" कैसे निकालूँ? \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\) का प्रयोग करें। यहाँ दी गई पूरक पंक्ति आपको \(P(X > k) = 1 - P(X \le k)\) देती है।

क्या p का मान 0 या 1 हो सकता है? हाँ। यदि \(p = 0\) है तो हर परीक्षण विफल होता है, इसलिए किसी भी \(k \ge 0\) के लिए \(P(X \le k) = 1\); यदि \(p = 1\) है तो हर परीक्षण सफल होता है, और तब केवल \(k \ge n\) होने पर ही मान 1 आता है।