Qu'est-ce que la probabilité d'au plus k succès ?
Ce calculateur détermine la probabilité binomiale cumulée \(P(X \le k)\) : la chance d'obtenir au plus k succès au cours de n essais indépendants, lorsque chaque essai réussit avec une probabilité p. Il additionne les probabilités binomiales individuelles, de 0 succès jusqu'à k succès inclus. Il s'agit de la queue inférieure (fonction de répartition) de la loi binomiale.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre d'essais n, le seuil k (le nombre maximal de succès que vous autorisez), ainsi que la probabilité de succès par essai p sous forme de nombre décimal compris entre 0 et 1. L'outil renvoie \(P(X \le k)\), sa forme en pourcentage, le complément \(P(X > k)\) et le nombre attendu de succès \(np\).
La formule expliquée
La probabilité d'obtenir exactement i succès correspond au terme binomial \(\binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}\), où \(\binom{n}{i}\) désigne le nombre de façons de choisir quels i essais réussissent. Pour obtenir « au plus k », on additionne ces termes pour i = 0, 1, …, k :
$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}$$Le calculateur s'appuie sur une relation de récurrence numériquement stable entre les termes successifs, ce qui garantit des résultats précis même pour de grandes valeurs de n.
Exemple concret
Supposons que vous lancez une pièce équilibrée 10 fois (\(n = 10\), \(p = 0{,}5\)) et que vous cherchez la probabilité d'obtenir au plus 3 fois pile (\(k = 3\)). En additionnant les termes pour 0, 1, 2 et 3 succès, on obtient :
$$1 + 10 + 45 + 120 = 176$$cas favorables sur \(2^{10} = 1024\), soit \(P(X \le 3) = 176 / 1024 \approx 0{,}171875\), c'est-à-dire environ 17,19 %.
FAQ
Quelle est la différence entre « au plus k » et « exactement k » ? « Exactement k » est un seul terme, \(\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\), tandis que « au plus k » correspond à la somme de tous les termes de 0 à k.
Comment obtenir « au moins k » à la place ? Utilisez \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\). La ligne du complément donne ici \(P(X > k) = 1 - P(X \le k)\).
p peut-il valoir 0 ou 1 ? Oui. Si \(p = 0\), chaque essai échoue, donc \(P(X \le k) = 1\) pour tout \(k \ge 0\) ; si \(p = 1\), chaque essai réussit, ce qui donne 1 uniquement lorsque \(k \ge n\).
