À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule la probabilité d'obtenir exactement k piles sur n lancers de pièce. Il s'appuie sur la loi de probabilité binomiale, qui modélise le nombre de succès au cours d'un nombre fixe d'épreuves indépendantes de type oui/non. Par défaut, il suppose une pièce équilibrée (probabilité de pile \(p = 0{,}5\)), mais vous pouvez saisir n'importe quelle probabilité de pile comprise entre 0 et 1 pour simuler une pièce truquée.
Comment l'utiliser
Indiquez le nombre total de lancers n, le nombre de piles visé k (qui peut aller de 0 à n) et la probabilité de pile p sur un seul lancer. Le calculateur affiche la probabilité exacte sous forme de nombre décimal et de pourcentage, ainsi que le nombre de façons distinctes \(C(n,k)\) d'obtenir ces piles.
La formule expliquée
La probabilité binomiale d'obtenir exactement k succès s'écrit :
$$P = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$$
Ici, \(C(n,k) = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) est le coefficient binomial — soit le nombre de façons de choisir lesquels des n lancers tomberont sur pile. Le terme \(p^{k}\) correspond à la probabilité que ces lancers choisis donnent tous pile, et \((1-p)^{n-k}\) à la probabilité que les autres donnent face. Pour une pièce équilibrée (\(p = 0{,}5\)), la formule se simplifie en \(P = C(n,k) \times 0{,}5^{n}\).
Exemple concret
Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 5 piles sur 10 lancers d'une pièce équilibrée ? On a \(C(10,5) = 252\) et \(0{,}5^{10} = 1/1024 \approx 0{,}0009766\). Ainsi $$P = 252 \times 0{,}0009766 \approx 0{,}2461,$$ soit environ 24,6 %. C'est le résultat le plus probable, et pourtant il se produit moins d'une fois sur quatre.
FAQ
Pourquoi obtenir exactement la moitié de piles ne donne-t-il pas 50 % ? Parce que tous les autres résultats (4, 6, 7 piles, etc.) se partagent la probabilité restante. Obtenir précisément \(k = n/2\) correspond simplement au sommet d'une distribution étalée.
k peut-il être supérieur à n ? Non. On ne peut pas obtenir plus de piles que de lancers : la probabilité est donc nulle dès que k dépasse n.
Comment simuler une pièce truquée ? Réglez p sur la véritable probabilité de pile — par exemple 0,6 pour une pièce qui tombe sur pile 60 % du temps.
