Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la probabilidad de obtener exactamente k caras en n lanzamientos de una moneda. Se basa en la distribución de probabilidad binomial, que modela el número de éxitos dentro de una cantidad fija de pruebas independientes de tipo sí/no. De forma predeterminada supone una moneda equilibrada (probabilidad de cara \(p = 0{,}5\)), pero puedes introducir cualquier probabilidad de cara entre 0 y 1 para representar una moneda trucada.
Cómo usarla
Introduce el número total de lanzamientos n, el número de caras que quieres obtener k (donde k puede ir de 0 hasta n) y la probabilidad de cara p en un solo lanzamiento. La calculadora te devuelve la probabilidad exacta tanto en formato decimal como en porcentaje, además del número de formas distintas \(C(n,k)\) en que pueden caer esas caras.
La fórmula explicada
La probabilidad binomial de obtener exactamente k éxitos es:
$$P(X = \text{k}) = \binom{\text{n}}{\text{k}} \, \text{p}^{\,\text{k}} \left(1 - \text{p}\right)^{\text{n} - \text{k}}$$
Aquí \(C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)\) es el coeficiente binomial, es decir, el número de maneras de elegir cuáles de los n lanzamientos salen cara. El término \(p^{k}\) es la probabilidad de que esos lanzamientos elegidos sean todos cara, y \((1-p)^{n-k}\) es la probabilidad de que el resto sean cruz. Para una moneda equilibrada (\(p = 0{,}5\)) la fórmula se reduce a \(P = C(n,k) \times 0{,}5^{n}\).
Ejemplo resuelto
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 5 caras en 10 lanzamientos de una moneda equilibrada? \(C(10,5) = 252\) y \(0{,}5^{10} = 1/1024 \approx 0{,}0009766\). Por tanto, $$P = 252 \times 0{,}0009766 \approx 0{,}2461,$$ es decir, alrededor del 24,6 %. Es el resultado más probable de todos y, aun así, ocurre menos de una de cada cuatro veces.
Preguntas frecuentes
¿Por qué obtener exactamente la mitad de caras no da el 50 %? Porque todos los demás resultados posibles (4, 6, 7 caras, etc.) se reparten la probabilidad restante. Conseguir justo \(k = n/2\) no es más que el punto más alto de una distribución repartida entre muchos valores.
¿Puede k ser mayor que n? No. No puedes obtener más caras que lanzamientos, así que la probabilidad es 0 siempre que k supere a n.
¿Cómo represento una moneda trucada? Ajusta p a la probabilidad real de cara; por ejemplo, 0,6 para una moneda que sale cara el 60 % de las veces.
