यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल यह गणना करता है कि n बार सिक्का उछालने पर ठीक k चित आने की प्रायिकता कितनी है। इसके लिए यह द्विपद प्रायिकता बंटन (binomial probability distribution) का उपयोग करता है, जो निश्चित संख्या में स्वतंत्र हाँ/नहीं परीक्षणों में सफलताओं की संख्या का मॉडल बनाता है। डिफ़ॉल्ट रूप से यह एक निष्पक्ष सिक्का मानता है (चित आने की प्रायिकता \(p = 0.5\)), लेकिन आप किसी पक्षपाती सिक्के का मॉडल बनाने के लिए 0 और 1 के बीच कोई भी चित-प्रायिकता दर्ज कर सकते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
कुल उछालों की संख्या n, लक्षित चितों की संख्या k (जहाँ k का मान 0 से लेकर n तक हो सकता है), और एक उछाल में चित आने की प्रायिकता p दर्ज करें। कैलकुलेटर सटीक प्रायिकता को दशमलव और प्रतिशत दोनों रूपों में बताता है, साथ ही यह भी कि वे चित कितने अलग-अलग तरीकों \(C(n,k)\) से आ सकते हैं।
सूत्र की व्याख्या
ठीक k सफलताओं की द्विपद प्रायिकता इस प्रकार है:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$यहाँ \(C(n,k) = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) द्विपद गुणांक है — यानी n उछालों में से कौन-से k उछाल चित होंगे, इसे चुनने के तरीकों की संख्या। पद \(p^{k}\) इस बात की संभावना है कि वे चुने गए उछाल सभी चित आएँ, और \((1-p)^{n-k}\) इस बात की संभावना है कि बाकी सभी पट आएँ। निष्पक्ष सिक्के (\(p = 0.5\)) के लिए यह सरल होकर \(P = C(n,k) \times 0.5^{n}\) बन जाता है।
हल किया गया उदाहरण
10 बार निष्पक्ष सिक्का उछालने पर ठीक 5 चित आने की प्रायिकता क्या है? \(C(10,5) = 252\), और \(0.5^{10} = 1/1024 \approx 0.0009766\)। तो $$P = 252 \times 0.0009766 \approx 0.2461,$$ यानी लगभग 24.6%। यह सबसे अधिक संभावित परिणाम है, फिर भी यह एक-चौथाई से भी कम बार घटित होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
ठीक आधे चित आने की प्रायिकता 50% क्यों नहीं होती? क्योंकि बाकी सभी परिणाम (4, 6, 7 चित, आदि) शेष प्रायिकता को आपस में बाँट लेते हैं। ठीक \(k = n/2\) चित आना तो बस एक फैले हुए बंटन का सबसे ऊँचा शिखर भर है।
क्या k का मान n से बड़ा हो सकता है? नहीं। उछालों की संख्या से ज़्यादा चित नहीं आ सकते, इसलिए जब भी k, n से बड़ा होगा, प्रायिकता 0 होगी।
पक्षपाती सिक्के का मॉडल कैसे बनाएँ? p को सिक्के की वास्तविक चित-प्रायिकता पर सेट करें — उदाहरण के लिए, ऐसे सिक्के के लिए 0.6 जो 60% बार चित आता है।
