यह नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन कैलकुलेटर क्या करता है
नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन (जिसे गॉसियन वितरण या घंटी के आकार का वक्र / bell curve भी कहते हैं) बताता है कि प्राकृतिक और सांख्यिकीय राशियाँ — जैसे लोगों की लंबाई, परीक्षा के अंक, मापन में होने वाली त्रुटियाँ — किस तरह औसत के इर्द-गिर्द सममित रूप से इकट्ठा होती हैं। यह कैलकुलेटर वक्र पर किसी एक बिंदु को लेता है और एक ही बार में तीन चीज़ें बताता है: आपके X मान पर प्रायिकता घनत्व, उस बिंदु तक की संचयी प्रायिकता, और उसका z-स्कोर। शुरुआत करने के लिए आपको बस तीन इनपुट चाहिए।
- माध्य (μ): वितरण का केंद्र, जहाँ वक्र सबसे ऊँचा होता है।
- मानक विचलन (σ): डेटा कितना फैला हुआ है, यह दर्शाता है। यह 0 से बड़ा होना ज़रूरी है।
- X मान: वितरण पर वह विशेष बिंदु जिसका आप मूल्यांकन करना चाहते हैं।
इसके पीछे का सूत्र
प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) इस प्रकार है:
f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−½((x−μ)/σ)²)
कैलकुलेटर आपके X मान पर इस PDF का मान निकालता है, संचयी वितरण फलन (CDF) की गणना करता है — यानी −∞ से लेकर X तक वक्र के नीचे का क्षेत्रफल, अर्थात किसी मान के X से कम या बराबर होने की प्रायिकता — और निम्न सूत्र से z-स्कोर ज्ञात करता है:
- z = (x − μ) / σ — यानी X, माध्य से कितने मानक विचलन दूर स्थित है।
यह μ ± 4σ की सीमा में घंटी-आकार का वक्र भी बनाता है, जिससे आप ठीक-ठीक देख सकें कि आपका X मान कहाँ पड़ता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए परीक्षा के अंकों का माध्य (μ) 70 है और मानक विचलन (σ) 10 है, और आप X मान 85 का मूल्यांकन करना चाहते हैं।
- Z-स्कोर: (85 − 70) / 10 = 1.5
- PDF f(85): ≈ 0.0130 — यानी 85 पर वक्र की ऊँचाई।
- CDF: ≈ 0.9332 — यानी लगभग 93.3% अंक 85 या उससे कम हैं, इसलिए लगभग 6.7% ने इससे अधिक अंक पाए।
इससे तुरंत पता चलता है कि 85 अंक पूरी कक्षा के शीर्ष 7% में आता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
PDF और CDF में क्या अंतर है? PDF किसी एक ठीक बिंदु पर सापेक्ष संभावना (वक्र की ऊँचाई) देता है, जबकि CDF X तक के (और X सहित) सभी मानों की संचित प्रायिकता देता है। प्रायिकता निकालने के लिए आमतौर पर आपको CDF की ज़रूरत होती है।
मानक विचलन 0 से बड़ा क्यों होना चाहिए? शून्य मानक विचलन का मतलब होगा कि कोई बदलाव ही नहीं है, जिससे सूत्र में शून्य से भाग देने की स्थिति बन जाएगी। वितरण तभी अर्थपूर्ण होता है जब फैलाव धनात्मक हो।
अपने X मान से ऊपर की प्रायिकता कैसे निकालें? CDF को 1 में से घटा दें। ऊपर दिए उदाहरण में, P(X > 85) = 1 − 0.9332 = 0.0668, यानी लगभग 6.7%।
