정규분포 계산기로 무엇을 알 수 있나요?
정규분포(가우스 분포 또는 종형 곡선이라고도 부릅니다)는 키, 시험 점수, 측정 오차처럼 자연계와 통계에서 흔히 나타나는 수치들이 평균을 중심으로 좌우 대칭으로 모여 있는 모습을 설명합니다. 이 계산기는 곡선 위의 한 지점을 입력하면 세 가지 값을 한 번에 알려줍니다. 바로 입력한 X값에서의 확률밀도, X값까지의 누적확률, 그리고 z점수입니다. 시작하는 데 필요한 입력값은 단 세 개뿐입니다.
- 평균(μ): 분포의 중심이자 곡선이 가장 높아지는 지점입니다.
- 표준편차(σ): 데이터가 얼마나 넓게 퍼져 있는지를 나타냅니다. 반드시 0보다 커야 합니다.
- X값: 분포에서 확인하고 싶은 특정 지점입니다.
계산에 쓰이는 공식
확률밀도함수(PDF)는 다음과 같습니다.
f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−½((x−μ)/σ)²)
이 계산기는 입력한 X값에서 위 PDF를 계산하고, 누적분포함수(CDF), 즉 −∞에서 X까지 곡선 아래의 면적(값이 X 이하일 확률)을 구한 뒤, 다음 식으로 z점수를 산출합니다.
- z = (x − μ) / σ — X가 평균에서 표준편차 몇 배만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
또한 μ ± 4σ 범위로 종형 곡선을 그려 주어, 입력한 X값이 정확히 어디에 위치하는지 한눈에 확인할 수 있습니다.
실전 예시
시험 점수의 평균(μ)이 70, 표준편차(σ)가 10이고, X값으로 85점을 살펴본다고 가정해 봅시다.
- z점수: (85 − 70) / 10 = 1.5
- PDF f(85): ≈ 0.0130 — 85점에서의 곡선 높이입니다.
- CDF: ≈ 0.9332 — 전체 점수의 약 93.3%가 85점 이하에 해당하므로, 약 6.7%만이 그보다 높은 점수를 받았다는 뜻입니다.
즉, 85점은 반에서 상위 7% 안에 든다는 사실을 즉시 알 수 있습니다.
자주 묻는 질문
PDF와 CDF는 어떻게 다른가요? PDF는 정확히 한 지점에서의 상대적 가능성(곡선의 높이)을 나타내고, CDF는 X를 포함한 그 이하의 모든 값에 대한 누적 확률을 나타냅니다. 확률을 구할 때는 보통 CDF가 필요합니다.
표준편차는 왜 0보다 커야 하나요? 표준편차가 0이면 데이터에 아무런 변동이 없다는 뜻이 되어 공식에서 0으로 나누게 됩니다. 분포는 양의 산포도가 있어야만 의미를 가집니다.
X값보다 큰 값일 확률은 어떻게 구하나요? 1에서 CDF를 빼면 됩니다. 위 예시에서는 P(X > 85) = 1 − 0.9332 = 0.0668, 즉 약 6.7%입니다.
