Калькулятор нормального распределения

Введите расчет

Среднее (μ):

Стандартное отклонение (σ): Стандартное отклонение должно быть больше 0

Значение X:

Математическая формула

Show calculation steps (2)

1. Z-Score

   

   Number of standard deviations X is from the mean.

2. Cumulative Probability (CDF)

   

   Probability that a value is at most X.

Результатов

Функция плотности вероятности (PDF)

0,121

Функция распределения (CDF)

0,8413

Z-оценка

1

Введите среднее (μ)	1
Введите стандартное отклонение (σ)	2
Введите значение X	3

Что умеет калькулятор нормального распределения

Нормальное распределение (его также называют гауссовым или «колоколом») описывает, как множество природных и статистических величин — рост, результаты тестов, погрешности измерений — симметрично группируются вокруг среднего значения. Этот калькулятор берёт одну точку на кривой и сразу выдаёт три показателя: плотность вероятности в точке X, накопленную вероятность до неё и z-оценку. Чтобы начать, достаточно трёх параметров.

• Среднее (μ): центр распределения, точка, где кривая достигает пика.
• Стандартное отклонение (σ): мера разброса данных. Должно быть строго больше 0.
• Значение X: конкретная точка распределения, которую вы хотите проанализировать.

Заштрихованная область под колоколообразной кривой показывает вероятность того, что X меньше выбранного значения.

Формула, лежащая в основе

Функция плотности вероятности (PDF) выглядит так:

f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−½((x−μ)/σ)²)

Калькулятор вычисляет эту плотность в точке X, рассчитывает функцию распределения (CDF) — площадь под кривой от −∞ до X, то есть вероятность того, что величина окажется меньше или равна X, — и находит z-оценку по формуле:

• z = (x − μ) / σ — на сколько стандартных отклонений X удалён от среднего.

Кроме того, строится график «колокола» в диапазоне μ ± 4σ, чтобы вы наглядно видели, где именно находится ваше значение X.

Реклама

Правило 68-95-99.7: большинство значений попадают в пределах одного, двух и трёх стандартных отклонений от среднего.

Разбор примера

Допустим, баллы за экзамен имеют среднее (μ) 70 и стандартное отклонение (σ) 10, а вы хотите оценить значение X, равное 85.

• Z-оценка: (85 − 70) / 10 = 1,5
• Плотность f(85): ≈ 0,0130 — высота кривой в точке 85.
• CDF: ≈ 0,9332 — значит, около 93,3% результатов не превышают 85, а примерно 6,7% оказались выше.

Это сразу показывает, что балл 85 входит в лучшие 7% по классу.

Часто задаваемые вопросы

Чем отличаются PDF и CDF? PDF показывает относительную «вероятность» (высоту кривой) в одной конкретной точке, а CDF — накопленную вероятность всех значений вплоть до X включительно. Для расчёта вероятностей обычно нужна именно CDF.

Почему стандартное отклонение должно быть больше 0? Нулевое стандартное отклонение означало бы полное отсутствие разброса, и в формуле возникло бы деление на ноль. Распределение имеет смысл только при положительном разбросе.

Как найти вероятность того, что значение больше X? Вычтите CDF из единицы. В нашем примере P(X > 85) = 1 − 0,9332 = 0,0668, то есть около 6,7%.