حاسبة التوزيع الطبيعي

أدخل الحساب

المتوسط (μ):

الانحراف المعياري (σ): يجب أن يكون الانحراف المعياري أكبر من 0

قيمة X:

صيغة رياضية

Show calculation steps (2)

1. Z-Score

   

   Number of standard deviations X is from the mean.

2. Cumulative Probability (CDF)

   

   Probability that a value is at most X.

نتائج

دالة كثافة الاحتمال (PDF)

٠٫١٢١

دالة التوزيع التراكمي (CDF)

٠٫٨٤١٣

الدرجة المعيارية Z

١

أدخل المتوسط (μ)	١
أدخل الانحراف المعياري (σ)	٢
أدخل قيمة X	٣

ما الذي تقوم به حاسبة التوزيع الطبيعي

يصف التوزيع الطبيعي (المعروف أيضًا بالتوزيع الغاوسي أو المنحنى الجرسي) كيف تتجمّع الكثير من الظواهر الطبيعية والإحصائية — كالأطوال ودرجات الاختبارات وأخطاء القياس — بشكل متماثل حول قيمة متوسطة. تأخذ هذه الحاسبة نقطة واحدة على هذا المنحنى وتعطيك ثلاث نتائج دفعة واحدة: كثافة الاحتمال عند قيمة X، والاحتمال التراكمي حتى تلك النقطة، والدرجة المعيارية Z. كل ما تحتاجه هو ثلاثة مدخلات للبدء.

• المتوسط (μ): مركز التوزيع حيث تبلغ ذروة المنحنى.
• الانحراف المعياري (σ): مدى تشتت البيانات، ويجب أن يكون أكبر من الصفر.
• قيمة X: النقطة المحدّدة على التوزيع التي تريد تقييمها.

تمثل المساحة المظللة تحت المنحنى الجرسي احتمال أن تكون X أصغر من قيمة مختارة.

المعادلة وراء الحساب

دالة كثافة الاحتمال (PDF) هي:

f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−½((x−μ)/σ)²)

تحسب الأداة هذه الدالة عند قيمة X، ثم تحسب دالة التوزيع التراكمي (CDF) — أي المساحة تحت المنحنى من −∞ حتى X، وهي احتمال أن تكون القيمة أقل من أو تساوي X — وتجد الدرجة المعيارية Z باستخدام:

• z = (x − μ) / σ — عدد الانحرافات المعيارية التي تبعد بها X عن المتوسط.

كما ترسم المنحنى الجرسي عبر المجال μ ± 4σ لترى بدقة أين تقع قيمة X.

اعلان

قاعدة 68-95-99.7: تقع معظم القيم ضمن انحراف معياري واحد واثنين وثلاثة عن المتوسط.

مثال تطبيقي

لنفترض أن درجات أحد الاختبارات لها متوسط (μ) يساوي 70 وانحراف معياري (σ) يساوي 10، وتريد تقييم قيمة X تساوي 85.

• الدرجة المعيارية Z: (85 − 70) / 10 = 1.5
• كثافة الاحتمال f(85): ≈ 0.0130 — أي ارتفاع المنحنى عند النقطة 85.
• الاحتمال التراكمي CDF: ≈ 0.9332 — أي أن نحو 93.3% من الدرجات تقع عند 85 أو أقل، بينما حصل نحو 6.7% فقط على درجة أعلى.

وهذا يخبرك فورًا بأن درجة 85 تقع ضمن أعلى 7% في الصف.

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين دالة كثافة الاحتمال (PDF) ودالة التوزيع التراكمي (CDF)؟ تعطي دالة PDF الاحتمال النسبي (ارتفاع المنحنى) عند نقطة واحدة بالتحديد، بينما تعطي دالة CDF الاحتمال المتراكم لجميع القيم حتى X وبما فيها. وللحصول على الاحتمالات تحتاج عادةً إلى دالة CDF.

لماذا يجب أن يكون الانحراف المعياري أكبر من الصفر؟ الانحراف المعياري الذي يساوي صفرًا يعني انعدام التشتت تمامًا، ما يؤدي إلى قسمة على صفر في المعادلة. ولا يكون للتوزيع معنى إلا بوجود تشتت موجب.

كيف أجد احتمال القيم الأعلى من X؟ اطرح الاحتمال التراكمي CDF من 1. في المثال السابق: P(X > 85) = 1 − 0.9332 = 0.0668، أي نحو 6.7%.