ما هي حاسبة احتمالات التوزيع الطبيعي؟
تحسب هذه الأداة احتمال أن يقع متغيّر عشوائي يتبع التوزيع الطبيعي تحت قيمة معيّنة أو فوقها. فإذا أدخلت قيمة x ومتوسطًا μ وانحرافًا معياريًا σ، تُرجِع لك الاحتمال التراكمي \(P(X < x)\) واحتمال الطرف العلوي \(P(X > x)\)، إضافةً إلى الدرجة المعيارية (z-score) المقابلة. ويُعدّ التوزيع الطبيعي (أو الغاوسي) حجر الأساس لعدد لا يُحصى من الاختبارات الإحصائية، ومخططات ضبط الجودة، ونماذج المخاطر.
طريقة الاستخدام
أدخل القيمة التي تهمّك (x)، ثم متوسط التوزيع (μ)، وانحرافه المعياري (σ، الذي يجب أن يكون موجبًا). تقوم الأداة بتحويل قيمتك إلى درجة معيارية (z-score)، ثم تُقيّم الدالة التراكمية للتوزيع الطبيعي المعياري (CDF) لتعرض النتيجة على هيئة نسبة مئوية.
شرح المعادلة
تُحوَّل القيمة أولًا إلى درجة معيارية وفق العلاقة: $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ وتُبيّن هذه الدرجة عددَ الانحرافات المعيارية التي تبعد بها x عن المتوسط. ويُحسب الاحتمال الواقع تحت x عندئذٍ بالدالة التراكمية للتوزيع الطبيعي المعياري $$P(X < x) = \Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ ولأن دالة الخطأ erf ليست لها صيغة مغلقة، تعتمد هذه الحاسبة على التقريب الشهير بكثيرة الحدود من Abramowitz & Stegun (الصيغة 7.1.26)، وهو دقيق إلى نحو \(1\times10^{-7}\).
مثال تطبيقي
لنفترض أن درجات اختبارٍ ما تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط \(\mu = 100\) وانحراف معياري \(\sigma = 15\)، وتريد حساب \(P(\text{الدرجة} < 130)\). تكون الدرجة المعيارية: $$\frac{130 - 100}{15} = 2$$ وقيمة الدالة التراكمية للتوزيع الطبيعي المعياري عند \(z = 2\) تساوي نحو \(0.97725\)، أي إن قرابة 97.72% من الدرجات تقع تحت 130، بينما يتجاوزها نحو 2.28% منها.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعني الدرجة المعيارية (z-score)؟ هي عدد الانحرافات المعيارية التي تبعد بها قيمةٌ ما عن المتوسط؛ فالقيمة الموجبة تعني أنها فوق المتوسط، والسالبة تعني أنها تحته.
كيف أحصل على الاحتمال المحصور بين قيمتين؟ احسب \(P(X < b) - P(X < a)\) بتشغيل الحاسبة مرتين.
ما مدى دقة النتيجة؟ يبلغ تقريب دالة الخطأ erf دقةً تقارب 7 منازل عشرية، وهي أكثر من كافية لأغلب الأعمال الإحصائية المعتادة.
