正态分布概率计算器是什么？
这款计算器用于求出服从正态分布的随机变量落在某个数值以下或以上的概率。只要给定数值 x、均值 μ 和标准差 σ，它就能算出累积概率 \(P(X < x)\) 和上尾概率 \(P(X > x)\)，同时给出对应的 z 分数。正态分布（又称高斯分布）是大量统计检验、质量控制图和风险模型的基石。
使用方法
填入你关心的数值（x）、分布的均值（μ）以及标准差（σ，必须为正数）。工具会先把你的数值标准化为 z 分数，再代入标准正态累积分布函数（CDF），最终以百分比的形式给出结果。
公式详解
第一步，把数值转换为 z 分数：$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$。z 分数表示 x 偏离均值多少个标准差。随后，落在 x 以下的概率即为标准正态 CDF：$$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$由于误差函数 erf 没有解析解，本计算器采用业内常用的 Abramowitz & Stegun 7.1.26 多项式近似公式，精度约为 \(1 \times 10^{-7}\)。
实例演示
假设某项考试成绩服从均值 \(\mu = 100\)、标准差 \(\sigma = 15\) 的正态分布，现在想求 \(P(\text{成绩} < 130)\)。先算 z 分数：$$z = \frac{130 - 100}{15} = 2$$\(z = 2\) 处的标准正态 CDF 约为 \(0.97725\)，因此大约 97.72% 的成绩低于 130，而约 2.28% 的成绩高于 130。
常见问题
z 分数代表什么？它表示某个数值偏离均值多少个标准差；正值在均值之上，负值在均值之下。
怎样求两个数值之间的概率？把计算器运行两次，用 \(P(X < b) - P(X < a)\) 即可得到结果。
结果精度如何？erf 近似公式可精确到约 7 位小数，对于日常统计工作来说绰绰有余。
