这个计算器能做什么
本工具针对由均值 \(\mu\) 和标准差 \(\sigma\) 描述的正态分布（高斯分布）\(N(\mu, \sigma^2)\) 进行计算。给定两个点 \(x_1\) 和 \(x_2\)，它会返回四个结果：两点处的概率密度 \(f(x_1)\) 与 \(f(x_2)\)、区间内累积概率 \(P(x_1 \le X \le x_2)\)（即两点之间的面积），以及两侧尾部的区间外累积概率，其值等于 1 减去区间内面积。这是一款纯数学的统计工具，不涉及任何地区规则，全球通用。
如何使用
填入两个点 \(x_1\) 和 \(x_2\)（计算器会自动把较小的那个作为下界），再输入均值 \(\mu\) 和标准差 \(\sigma\)。默认值 \(\mu=0\)、\(\sigma=1\) 对应标准正态分布，此时 x 值就是 z 分数。注意，标准差必须大于零。
公式解析
每个点都会先换算成 z 分数 $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}.$$ 概率密度采用 $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}.$$ 累积面积则使用标准正态分布的累积分布函数（CDF）$$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right);$$ 由于 Java 没有内置 erf 函数，这里采用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 近似公式（精度约 1e-7）。区间内概率为 \(\Phi(z_2) - \Phi(z_1)\)，区间外概率则为 1 减去这个值。
实例演示
以标准正态分布为例，\(x_1 = -1\)、\(x_2 = 1\)、\(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\)。两点的密度 $$f(-1) = f(1) = 0.398942 \times e^{-0.5} = 0.241971.$$ \(\Phi(1) = 0.841345\)，\(\Phi(-1) = 0.158655\)，所以区间内概率为 $$0.841345 - 0.158655 = 0.682690$$（约 68.27%，正是大家熟悉的 \(\pm 1\sigma\) 法则），区间外概率为 0.317310（约 31.73%）。
常见问题
如果我输入的 x1 大于 x2 会怎样？程序内部会自动交换这两个值，确保区间内区域始终是较小值与较大值之间的部分。
\(\mu=0\)、\(\sigma=1\) 代表什么？这就是标准正态分布，此时你输入的 x 值可以直接当作 z 分数来读取。
为什么 \(f(x)\) 有时会大于 1？概率密度并不是概率本身；当 \(\sigma\) 很小时，峰值高度可能超过 1，但曲线下的总面积依然等于 1。
