常態分布區間機率計算器（兩點）

輸入計算

分位點 x1

分位點 x2

Mean μ

Standard deviation σ

數學公式

Show calculation steps (2)

1. Outer Region Probability

   

   Probability X falls outside the interval, the complement of the inner probability

2. Density at a Point

   

   Probability density function value of the normal distribution at point x

結果

Inner cumulative probability P(x1 ≤ X ≤ x2)

0.682689

68.27% of the area

Outer cumulative probability P(X < x1) + P(X > x2)	0.317311 (31.73%)
x1 處的機率密度 f(x1)	0.241971
x2 處的機率密度 f(x2)	0.241971

這個計算器的用途

本工具針對常態分布（又稱高斯分布）\(N(\mu, \sigma^2)\) 進行運算，由平均數 \(\mu\) 與標準差 \(\sigma\) 來描述。給定兩個點 \(x_1\) 與 \(x_2\)，計算器會回傳四個數值：兩點各自的機率密度 \(f(x_1)\) 與 \(f(x_2)\)、區間內累積機率 \(P(x_1 \le X \le x_2)\)（也就是兩點之間的面積），以及兩側尾端的區間外累積機率，其值等於 1 減去區間內面積。這是一個純數學的統計工具，不涉及任何地區規則，適用於世界各地。

使用方式

輸入兩個點 \(x_1\) 與 \(x_2\)（計算器會自動以較小者作為下界），接著填入平均數 \(\mu\) 與標準差 \(\sigma\)。預設值 \(\mu=0\)、\(\sigma=1\) 即為標準常態分布，此時 x 值就等同於 z 分數（標準分數）。標準差必須大於零。

公式說明

每個點都會先轉換成 z 分數： $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ 機率密度採用公式 $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$ 累積面積則使用標準常態累積分布函數（CDF） $$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)$$ 由於 Java 並未內建 erf 函數，這裡採用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 近似式（精度約 1e-7）。區間內機率為 \(\Phi(z_2) - \Phi(z_1)\)，區間外機率則為 1 減去此值。

Advertisement

內部機率是鐘形曲線下 x₁ 與 x₂ 之間的陰影面積。

實際範例

以標準常態分布為例，\(x_1 = -1\)、\(x_2 = 1\)、\(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\)。機率密度 $$f(-1) = f(1) = 0.398942 \times e^{-0.5} = 0.241971$$ \(\Phi(1) = 0.841345\)、\(\Phi(-1) = 0.158655\)，因此區間內機率為 $$0.841345 - 0.158655 = 0.682690$$ （約 68.27%，正是大家熟悉的 \(\pm 1\sigma\) 法則），區間外機率則為 0.317310（約 31.73%）。

外部機率是 x₁ 與 x₂ 之外兩個尾部的面積總和。

常見問題

如果我輸入的 \(x_1\) 大於 \(x_2\) 怎麼辦？計算器會在內部自動將兩個數值對調，確保區間內始終是較小值到較大值之間的範圍。

\(\mu=0\)、\(\sigma=1\) 代表什麼？這就是標準常態分布，因此你輸入的 x 值可直接視為 z 分數。

為什麼 \(f(x)\) 有時會大於 1？機率密度並不是機率本身；當 \(\sigma\) 很小時，曲線峰值的高度可能超過 1，但整條曲線下的總面積仍然等於 1。