這個計算器的用途
本工具用來計算常態分布的百分位數（又稱分位數或臨界值）。你只要輸入一個累積機率，它就會回傳分布軸上的數值 \(x\)，使得指定比例的機率落在它的左側（或右側）。這正是常態累積分布函數（CDF）的反函數。當平均數為 0、標準差為 1 時，它會回傳大家熟悉的標準常態 \(z\) 值。這是一套通用的純數學，無論在哪個國家都完全一樣。
使用方法
先選擇累積模式。若你的機率代表左尾面積 \(P(X \le x)\)，請選下尾累積 P；若代表右尾面積 \(P(X > x)\)，則選上尾累積 Q。接著輸入嚴格介於 0 與 1 之間的機率值，再填入分布的平均數與標準差（標準常態請填 0 與 1）。結果會顯示百分位數 \(x\) 及其標準化後的 \(z\) 分數。
公式說明
令 \(\Phi\) 為標準常態 CDF。第一步先把輸入值換算成下尾機率：下尾模式為 \(p_{lower} = P\)，上尾模式為 \(p_{lower} = 1 - Q\)。接著取反向常態 CDF（probit）：\(z = \Phi^{-1}(p_{lower})\)。最後再還原標準化： $$x = \mu + \sigma \cdot z$$ 本計算採用 Acklam 有理逼近法，並以一步牛頓法修正，精度約達 1e-9。
範例演算
上尾模式，\(Q = 0.025\)，\(\mu = 100\)，\(\sigma = 15\)。換算：\(p_{lower} = 1 - 0.025 = 0.975\)。分位數：\(z = \Phi^{-1}(0.975) \approx 1.959964\)。還原標準化： $$x = 100 + 15 \times 1.959964 \approx 129.40$$ 也就是說，約有 2.5% 的分布落在 129.4 以上。
常見問題
為什麼 \(z\) 有時會等於 \(x\)？只有在標準常態（\(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\)）的情況下才會如此，此時 \(x = z\)。
當 \(p = 0.5\) 時會怎樣？在下尾模式中，分位數恰好等於平均數，因為 \(z = 0\)。
可以輸入 0 或 1 嗎？不行。分位數在 0 時會發散至 \(-\infty\)，在 1 時會發散至 \(+\infty\)，因此機率必須嚴格介於 0 與 1 之間，且 \(\sigma\) 必須大於 0。
