Bu hesaplama aracı ne işe yarar?
Bu araç, bir normal dağılımın yüzdelik noktasını (kuantil veya kritik değer olarak da bilinir) hesaplar. Kümülatif bir olasılık girersiniz, araç da dağılım ekseni üzerinde, istenen olasılık miktarının altında (ya da üstünde) kalan x değerini geri verir. Bu, normal kümülatif dağılım fonksiyonunun (CDF) tersidir. Ortalama 0 ve standart sapma 1 olduğunda, bildiğimiz standart normal z-değerini verir. Bu, evrensel ve saf matematiktir; her yerde aynı şekilde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
Önce bir kümülatif mod seçin. Olasılığınız sol kuyruk alanı \(P(X \le x)\) ise Alt kümülatif P, sağ kuyruk alanı \(P(X > x)\) ise Üst kümülatif Q seçeneğini kullanın. Olasılığı kesinlikle 0 ile 1 arasında girin. Ardından dağılımın ortalamasını ve standart sapmasını girin (standart normal için 0 ve 1 kullanın). Sonuç, yüzdelik nokta x değerini ve onun standartlaştırılmış z-skorunu gösterir.
Formülün açıklaması
\(\Phi\) standart normal CDF olsun. Önce girdinizi bir alt kuyruk olasılığına çevirin: alt mod için \(p_{\text{alt}} = P\), üst mod için \(p_{\text{alt}} = 1 - Q\). Sonra ters normal CDF (probit) alınır: \(z = \Phi^{-1}(p_{\text{alt}})\). Son olarak standartlaştırmayı geri alın:
$$x = \mu + \sigma \cdot z$$Yaklaşık 1e-9 doğruluk için Acklam rasyonel yaklaşımını bir Newton adımıyla iyileştirerek kullanıyoruz.
Çözümlü örnek
Üst mod, \(Q = 0{,}025\), \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\). Dönüştürme: \(p_{\text{alt}} = 1 - 0{,}025 = 0{,}975\). Kuantil: \(z = \Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}959964\). Standartlaştırmayı geri al:
$$x = 100 + 15 \times 1{,}959964 \approx 129{,}40$$Yani dağılımın yaklaşık %2,5'i 129,4 değerinin üzerinde kalır.
Sık sorulan sorular
z neden bazen x'e eşit oluyor? Yalnızca standart normal durumda (\(\mu = 0\), \(\sigma = 1\)), burada \(x = z\) olur.
\(p = 0{,}5\) olduğunda ne olur? Alt modda kuantil tam olarak ortalamaya eşittir, çünkü \(z = 0\) olur.
0 veya 1 girebilir miyim? Hayır. Kuantil 0'da \(-\infty\)'a, 1'de \(+\infty\)'a ıraksar; bu yüzden olasılık kesinlikle 0 ile 1 arasında olmalı ve \(\sigma\) 0'dan büyük olmalıdır.
