Log-Normal Dağılım Hesaplama (PDF ve Kümülatif Olasılık)

Lower cumulative P(x) = P(X ≤ x)	0,755891
Upper cumulative Q(x) = P(X > x)	0,244109

Log-normal dağılım nedir?

Pozitif bir X rastgele değişkeninin doğal logaritması ln(X) normal dağılım gösteriyorsa, X log-normal dağılıma sahiptir. Başka bir deyişle $X = e^Y$ olur; burada Y, ortalaması $\mu$ ve standart sapması $\sigma$ olan normal dağılımlı bir değişkendir. Logaritma yalnızca pozitif değerler için tanımlı olduğundan, log-normal dağılım tamamen pozitif reel sayılar üzerinde yaşar. Bu da onu negatif olamayan büyüklükler için doğal bir model hâline getirir: hisse senedi fiyatları, gelir, parçacık boyutları, biyolojik ölçümler ve arızaya kadar geçen süre verileri gibi.

Sağa çarpık log-normal olasılık yoğunluk eğrisi — Log-normal PDF yalnızca x sıfırdan büyük olduğunda tanımlıdır ve uzun bir kuyrukla sağa çarpıktır.

Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Dağılımı değerlendirmek istediğiniz x değerini girin (0'dan büyük olmalıdır), ardından $\mu$ ve $\sigma$ değerlerini girin. Yeni başlayanların sıkça takıldığı önemli bir nokta var: buradaki $\mu$ ve $\sigma$, X'in değil ln(X)'in ortalaması ve standart sapmasıdır. Hesaplama aracı üç değer döndürür: olasılık yoğunluğu $f(x)$, alt kümülatif olasılık $P(x) = P(X \le x)$ ve üst kümülatif olasılık $Q(x) = P(X > x) = 1 - P(x)$.

Formülün açıklaması

Standartlaştırılmış skoru $z = (\ln x - \mu) / \sigma$ olarak tanımlayalım. Yoğunluk şu şekilde hesaplanır:

$$f(x) = \frac{1}{\text{x}\;\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{\left(\ln \text{x} - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}\right)$$

Alt kümülatif olasılık ise $P(x) = \Phi(z)$ olur; burada $\Phi$ standart normal kümülatif dağılım fonksiyonudur ve

$$\begin{gathered} P(X \le x) = \Phi\!\left(\frac{\ln \text{x} - \mu}{\sigma}\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \Phi(z) &= \tfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right) \\ P(X > x) &= 1 - P(X \le x) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

ile verilir. erf fonksiyonu standart matematik kütüphanelerinde yer almadığından, bu araç Abramowitz & Stegun 7.1.26 polinom yaklaşımını kullanır; bu yaklaşımın doğruluğu yaklaşık $1{,}5 \times 10^{-7}$ düzeyindedir.

Reklam

Gölgeli alt ve üst kümülatif alanlara sahip log-normal yoğunluk — Alt kümülatif P(X ≤ x) soldaki alandır; üst kümülatif Q(x) sağdaki alandır.

Çözümlü örnek

$x = 2$, $\mu = 0$ ve $\sigma = 1$ alalım. Bu durumda $\ln(2) = 0{,}693147$ ve $z = 0{,}693147$ olur. Yoğunluk için, 0,693'e dayalı exp terimi $0{,}786429$ sonucunu verir; bunu 5,013256'ya böldüğümüzde $f(2) \approx 0{,}156874$ bulunur. Alt kümülatif olasılık $\Phi(0{,}693147) \approx 0{,}755891$ olduğundan, üst kümülatif olasılık $Q(2) = 1 - 0{,}755891 \approx 0{,}244109$ olur.

Sıkça sorulan sorular

x neden pozitif olmak zorunda? Log-normal dağılım yalnızca $x > 0$ için tanımlıdır, çünkü aksi takdirde $\ln(x)$ tanımsızdır. $x \le 0$ için yoğunluk 0, $P(x) = 0$ ve $Q(x) = 1$ olur.

X'in kendi ortalamasını nasıl bulurum? X'in ortalaması $\exp(\mu + \sigma^2/2)$, medyanı $\exp(\mu)$ ve modu $\exp(\mu - \sigma^2)$ ile hesaplanır. Bu değerlerin, ln(X)'i tanımlayan $\mu$ ve $\sigma$'dan farklı olduğunu unutmayın.

σ sıfır olursa ne olur? Sıfır standart sapma, dejenere bir nokta kütlesi verir ve sıfıra bölme oluşturur; bu nedenle kabul edilmez. Bunun yerine küçük bir pozitif $\sigma$ değeri kullanın.