什麼是對數常態分布？
當一個正的隨機變數 X，其自然對數 ln(X) 服從常態分布時，X 就屬於對數常態分布。換句話說，\(X = e^Y\)，其中 Y 是平均數為 \(\mu\)、標準差為 \(\sigma\) 的常態分布。由於對數只對正數有定義，對數常態分布完全落在正實數範圍內，因此特別適合用來描述「不可能為負」的數值，例如股價、所得、粒子大小、生物量測值，以及產品的失效時間（壽命）等資料。
計算機怎麼用？
先輸入要評估的數值 \(x\)（必須大於 0），再輸入 \(\mu\) 與 \(\sigma\)。這裡有一個新手最容易搞錯的重點：此處的 \(\mu\) 與 \(\sigma\) 指的是 ln(X) 的平均數與標準差，而不是 X 本身的平均數與標準差。計算機會回傳三個數值：機率密度 \(f(x)\)、下累積機率 \(P(x) = P(X \le x)\)，以及上累積機率 \(Q(x) = P(X > x) = 1 - P(x)\)。
公式詳解
先定義標準化分數 \(z = (\ln x - \mu) / \sigma\)。機率密度為 $$f(x) = \frac{1}{x \cdot \sigma \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot \exp\!\left(-\frac{z^2}{2}\right)$$ 下累積機率為 \(P(x) = \Phi(z)\)，其中 \(\Phi\) 是標準常態分布的累積分布函數，$$\Phi(z) = 0.5 \cdot \left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)$$ 由於 erf 並非標準數學函式庫內建的函數，本工具採用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 多項式近似法，精度約可達 \(1.5 \times 10^{-7}\)。
範例試算
假設 \(x = 2\)、\(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\)。則 \(\ln(2) = 0.693147\)，\(z = 0.693147\)。機率密度為 \(f(2)\)：以 0.693 為基礎的 exp 項約 0.786429，除以 5.013256，約等於 \(0.156874\)。下累積機率 \(\Phi(0.693147) \approx 0.755891\)，因此上累積機率為 $$Q(2) = 1 - 0.755891 \approx 0.244109$$
常見問題
為什麼 x 一定要是正數？對數常態分布只在 \(x > 0\) 時有定義，因為當 \(x \le 0\) 時 ln(x) 沒有意義。此時機率密度為 0，\(P(x) = 0\)，\(Q(x) = 1\)。
要怎麼求出 X 本身的平均數？X 的平均數等於 \(\exp(\mu + \sigma^2/2)\)，中位數等於 \(\exp(\mu)\)，眾數等於 \(\exp(\mu - \sigma^2)\)。請注意這些值都不同於描述 ln(X) 的 \(\mu\) 與 \(\sigma\)。
如果 σ 等於 0 會怎樣？標準差為 0 會退化成一個點質量，並造成除以零的問題，因此系統不接受；請改用一個很小的正數作為 \(\sigma\)。
