這個計算機可以做什麼
標準常態分配 N(0,1) 就是平均數為 0、標準差為 1 的那條鐘形曲線。只要輸入一個百分位點 \(x\)（也就是常說的 z 分數），這個計算機就會回傳四個數值：\(x\) 處的機率密度、下尾累積機率 \(P(X \le x)\)、上尾累積機率 \(P(X \ge x)\)，以及雙尾的內側機率 \(P(-|x| \le X \le |x|)\)。無論 \(x\) 是正數、負數或零，都適用。
使用方法
輸入 \(x\) 的數值，就能直接讀取結果。舉例來說，\(x = 1\) 代表高於平均數一個標準差；\(x = 1.96\) 則是統計上經典的 95% 信賴區間臨界值。由於標準常態變數本身沒有單位（無因次），因此不需要填寫任何單位。
公式解析
機率密度為 $$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^{2}/2}$$ 其中 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0.3989423\)。下尾累積分配函數為 $$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[\,1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ 這裡用到高斯誤差函數 \(\operatorname{erf}\)。上尾機率為 \(Q(x) = 1 - \Phi(x)\)，內側機率則是 \(I(x) = \operatorname{erf}(|x|/\sqrt{2}) = 2\Phi(|x|) - 1\)。由於基本的數學函式庫並未內建 \(\operatorname{erf}\)，我們改用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 的有理近似式來計算（最大誤差約 \(1.5\times10^{-7}\)），其精確度約可達小數點後六位，足供顯示之用。
範例計算
以 \(x = 1\) 為例：$$\varphi(1) = 0.3989423 \times e^{-0.5} \approx 0.2419707$$ \(\operatorname{erf}(0.7071068) \approx 0.6826895\)，因此 \(\Phi(1) \approx 0.8413447\)，對應的上尾機率為 \(0.1586553\)，內側機率則為 \(0.6826895\)——這正是大家熟知的「約 68% 的數值落在 \(\pm 1\) 個標準差之內」。
常見問題
什麼是 z 分數？z 分數代表某個數值距離平均數有幾個標準差。對標準常態分配而言，數值本身就等於它的 z 分數。
為什麼內側機率要用 |x|？雙尾區域是以零為中心對稱的，因此負的 \(x\) 與其對應的正值會得到相同的內側機率。
計算結果有多精確？這個誤差函數近似式的精確度約可達小數點後六位，對於一般的統計工作而言綽綽有餘。
