什麼是綜合除法？
綜合除法（synthetic division）是一種快速捷徑，用來把多項式 \(P(x)\) 除以形如 \((x - r)\) 的一次因式。它不必像長除法那樣完整列出每一步，而是只針對數字係數運算，就能得到一個次數少一階的商式，再加上一個餘數。根據餘式定理，這個餘數正好等於 \(P(r)\)，因此同樣的運算過程也可以用來求多項式在 \(x = r\) 時的函數值。
如何使用本計算器
請依照次數由高到低、一直到常數項的順序輸入多項式的係數，並以逗號或空格分隔。若某個次方項不存在，也務必補上 0（例如 \(x^3 - 2\) 要寫成 1, 0, 0, -2）。接著輸入除式 \((x - r)\) 中的根 \(r\)。如果你要除以 \((x + 3)\)，則 \(r = -3\)。計算器會回傳商式多項式與餘數。
公式原理
先列出係數 \(a_0\)、\(a_1\)、…、\(a_n\)。將 \(a_0\) 直接抄下作為 \(b_0\)。之後每一項都套用遞迴公式 \(b_i = a_i + r\cdot b_{i-1}\)。其中 \(b_0\) 到 \(b_{n-1}\) 為商式的係數，最後一個值 \(b_n\) 就是餘數 \(R\)。用符號表示即為
$$P(x) = (x - r)\cdot Q(x) + R$$完整的遞迴關係如下：
$$\begin{gathered} b_0 = a_0, \qquad b_i = a_i + \text{r}\cdot b_{i-1} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a_i &= \text{Coefficients}\ \text{(highest degree first)} \\ Q(x) &= b_0 x^{n-1} + b_1 x^{n-2} + \dots + b_{n-2} \\ R &= b_{n-1}\ \text{(remainder)} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
範例演算
將 \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) 除以 \((x - 1)\)，所以係數為 1、−6、11、−6，而 \(r = 1\)。先抄下 1。接著：\(-6 + 1\cdot 1 = -5\)；再來 \(11 + 1\cdot(-5) = 6\)；最後 \(-6 + 1\cdot 6 = 0\)。因此商式為 \(x^2 - 5x + 6\)，餘數為 0，這也驗證了 \((x - 1)\) 確實是它的因式。
常見問題
可以除以 \((x + a)\) 嗎？可以——把它改寫成 \((x - (-a))\)，並輸入 \(r = -a\) 即可。
餘數為 0 代表什麼？代表 \((x - r)\) 能整除 \(P(x)\)，也就是說 \(r\) 是這個多項式的一個根。
為什麼缺項一定要補 0？因為綜合除法是依照係數的位置來運算的；若省略某個次方項，整列數字都會錯位，導致結果完全錯誤。
