Chia Horner là gì?
Chia Horner (synthetic division) là cách làm nhanh để chia một đa thức P(x) cho nhân tử bậc nhất dạng (x − r). Thay vì phải đặt phép chia dài dòng, bạn chỉ cần làm việc với các hệ số bằng số, từ đó thu được đa thức thương có bậc thấp hơn một bậc cùng với một số dư duy nhất. Theo định lý Bézout (định lý số dư), số dư này chính bằng P(r), nên cũng cách làm đó còn giúp bạn tính giá trị của đa thức tại x = r.
Cách dùng máy tính
Nhập các hệ số của đa thức theo thứ tự từ bậc cao nhất xuống đến hạng tử tự do, cách nhau bằng dấu phẩy hoặc khoảng trắng. Nhớ điền số 0 cho những lũy thừa bị khuyết (ví dụ \(x^3 - 2\) sẽ viết thành 1, 0, 0, -2). Sau đó nhập nghiệm \(r\) của số chia \((x - r)\). Nếu bạn chia cho \((x + 3)\) thì dùng \(r = -3\). Máy tính sẽ trả về đa thức thương và số dư.
Giải thích công thức
Liệt kê các hệ số \(a_0, a_1, \dots, a_n\). Hạ hệ số \(a_0\) xuống thành \(b_0\). Mỗi hạng tử tiếp theo dùng công thức truy hồi \(b_i = a_i + r \cdot b_{i-1}\). Các giá trị từ \(b_0\) đến \(b_{n-1}\) là hệ số của đa thức thương, còn giá trị cuối cùng \(b_n\) chính là số dư \(R\). Viết theo ký hiệu:
$$P(x) = (x - r) \cdot Q(x) + R$$Tổng quát:
$$\begin{gathered} b_0 = a_0, \qquad b_i = a_i + \text{r}\cdot b_{i-1} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a_i &= \text{Coefficients}\ \text{(highest degree first)} \\ Q(x) &= b_0 x^{n-1} + b_1 x^{n-2} + \dots + b_{n-2} \\ R &= b_{n-1}\ \text{(remainder)} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ví dụ minh họa
Chia \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) cho \((x - 1)\), tức là các hệ số là \(1, -6, 11, -6\) và \(r = 1\). Hạ \(1\) xuống. Tiếp theo: \(-6 + 1 \cdot 1 = -5\). Rồi \(11 + 1 \cdot (-5) = 6\). Cuối cùng \(-6 + 1 \cdot 6 = 0\). Vậy thương là \(x^2 - 5x + 6\) với số dư \(0\), khẳng định \((x - 1)\) là một nhân tử của đa thức.
Câu hỏi thường gặp
Tôi có chia được cho (x + a) không? Có — chỉ cần viết lại thành \((x - (-a))\) rồi nhập \(r = -a\).
Số dư bằng 0 có ý nghĩa gì? Điều đó có nghĩa là \((x - r)\) chia hết P(x), nên \(r\) là một nghiệm của đa thức.
Vì sao phải điền số 0 cho các hạng tử khuyết? Vì chia Horner dựa vào vị trí của từng hệ số; nếu bỏ qua một lũy thừa thì mọi thứ sẽ bị xê dịch và cho ra kết quả sai.
