सिंथेटिक डिवीज़न कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

बहुपद के गुणांक (सबसे ऊंची डिग्री पहले, कॉमा या स्पेस से अलग करें)

भाजक का मूल r — (x − r) के लिए

परिणाम

भागफल Q(x)

x^2 - 5x + 6

डिग्री एक कम हो गई

शेषफल	0
पढ़े गए गुणांक	4

सिंथेटिक डिवीज़न क्या है?

सिंथेटिक डिवीज़न किसी बहुपद \(P(x)\) को \((x - r)\) रूप के रैखिक गुणनखंड से भाग देने का एक तेज़ और आसान तरीका है। लंबी भाग प्रक्रिया (long division) लिखने के बजाय आप सिर्फ संख्यात्मक गुणांकों के साथ काम करते हैं, जिससे एक डिग्री कम का भागफल बहुपद और एक अकेला शेषफल मिलता है। शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार यह शेषफल \(P(r)\) के बराबर होता है, इसलिए यही प्रक्रिया \(x = r\) पर बहुपद का मान भी निकाल देती है।

क्लासिक सिंथेटिक भाग सारणी: बाईं ओर भाजक का मूल, ऊपर गुणांक, नीचे गुणनफल और योग।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपने बहुपद के गुणांक सबसे ऊंची डिग्री से लेकर अचर पद (constant term) तक, कॉमा या स्पेस से अलग करके दर्ज करें। जो भी घात (power) मौजूद न हो, उसके लिए शून्य ज़रूर जोड़ें (उदाहरण के लिए, \(x^3 - 2\) बन जाता है 1, 0, 0, -2)। इसके बाद भाजक \((x - r)\) का मूल \(r\) दर्ज करें। अगर आप \((x + 3)\) से भाग दे रहे हैं, तो \(r = -3\) लें। कैलकुलेटर आपको भागफल बहुपद और शेषफल लौटा देगा।

सूत्र की व्याख्या

गुणांकों को \(a_0, a_1, \dots, a_n\) के रूप में लिखें। \(a_0\) को \(b_0\) के रूप में नीचे लाएं। इसके बाद का हर पद इस पुनरावृत्ति सूत्र से निकलता है:

$$b_0 = a_0, \qquad b_i = a_i + \text{r}\cdot b_{i-1}$$

\(b_0\) से लेकर \(b_{n-1}\) तक के मान भागफल के गुणांक हैं, और अंतिम मान \(b_n\) शेषफल \(R\) है। प्रतीकात्मक रूप में, \(P(x) = (x - r)\cdot Q(x) + R\)।

हर चरण: पिछले परिणाम को \(r\) से गुणा करें और अगला गुणांक जोड़ें।

हल किया हुआ उदाहरण

\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) को \((x - 1)\) से भाग दें, यानी गुणांक हैं \(1, -6, 11, -6\) और \(r = 1\)। पहले \(1\) को नीचे लाएं। फिर: \(-6 + 1\cdot 1 = -5\)। इसके बाद \(11 + 1\cdot(-5) = 6\)। फिर \(-6 + 1\cdot 6 = 0\)। तो भागफल है \(x^2 - 5x + 6\) और शेषफल \(0\) — जो पुष्टि करता है कि \((x - 1)\) एक गुणनखंड है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या मैं \((x + a)\) से भाग दे सकता हूं? हां — इसे \((x - (-a))\) के रूप में लिखें और \(r = -a\) दर्ज करें।

शेषफल शून्य होने का क्या मतलब है? इसका मतलब है कि \((x - r)\), \(P(x)\) को पूरी तरह भाग देता है, यानी \(r\) बहुपद का एक मूल है।

गायब पदों के लिए शून्य लगाना क्यों ज़रूरी है? सिंथेटिक डिवीज़न गुणांकों की स्थिति (position) पर आधारित है; किसी घात को छोड़ देने से सब कुछ खिसक जाएगा और गलत नतीजे मिलेंगे।