हाइड्रोजन-सदृश परमाणु रेडियल वेवफंक्शन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

परमाणु क्रमांक Z Hydrogen H (Z=1) Helium ion He+ (Z=2)

प्रमुख क्वांटम संख्या n

दिगंशीय (कक्षकीय) क्वांटम संख्या l

r का प्रारंभिक मान (बोर त्रिज्या में)

r की वृद्धि (चरण)

बिंदुओं की संख्या (पुनरावृत्तियाँ)

परिणाम

पहले r मान पर रेडियल वेवफंक्शन R(r)

2

units of a₀^−3/2 · n=1, l=0, Z=1

r · R(r) at first r value	0
बिंदुओं की संख्या	101

r (a₀)	R(r)	r·R(r)
0	2	0
0.2	1.637462	0.327492
0.4	1.34064	0.536256
0.6	1.097623	0.658574
0.8	0.898658	0.718926
1	0.735759	0.735759
1.2	0.602388	0.722866
1.4	0.493194	0.690471
1.6	0.403793	0.646069
1.8	0.330598	0.595076
2	0.270671	0.541341
2.2	0.221606	0.487534
2.4	0.181436	0.435446
2.6	0.148547	0.386223
2.8	0.12162	0.340536
3	0.099574	0.298722
3.2	0.081524	0.260878
3.4	0.066747	0.226938
3.6	0.054647	0.196731
3.8	0.044742	0.170018
4	0.036631	0.146525
4.2	0.029991	0.125963
4.4	0.024555	0.108041
4.6	0.020104	0.092477
4.8	0.016459	0.079006
5	0.013476	0.067379
5.2	0.011033	0.057372
5.4	0.009033	0.048779
5.6	0.007396	0.041416
5.8	0.006055	0.03512
6	0.004958	0.029745
6.2	0.004059	0.025165
6.4	0.003323	0.021268
6.6	0.002721	0.017957
6.8	0.002228	0.015147
7	0.001824	0.012766
7.2	0.001493	0.010751
7.4	0.001223	0.009047
7.6	0.001001	0.007607
7.8	0.000819	0.006392
8	0.000671	0.005367
8.2	0.000549	0.004504
8.4	0.00045	0.003778
8.6	0.000368	0.003167
8.8	0.000301	0.002653
9	0.000247	0.002221
9.2	0.000202	0.001859
9.4	0.000165	0.001555
9.6	0.000135	0.0013
9.8	0.000111	0.001087
10	0.000091	0.000908
10.2	0.000074	0.000758
10.4	0.000061	0.000633
10.6	0.00005	0.000528
10.8	0.000041	0.000441
11	0.000033	0.000367
11.2	0.000027	0.000306
11.4	0.000022	0.000255
11.6	0.000018	0.000213
11.8	0.000015	0.000177
12	0.000012	0.000147
12.2	0.00001	0.000123
12.4	0.000008	0.000102
12.6	0.000007	0.000085
12.8	0.000006	0.000071
13	0.000005	0.000059
13.2	0.000004	0.000049
13.4	0.000003	0.000041
13.6	0.000002	0.000034
13.8	0.000002	0.000028
14	0.000002	0.000023
14.2	0.000001	0.000019
14.4	0.000001	0.000016
14.6	0.000001	0.000013
14.8	0.000001	0.000011
15	0.000001	0.000009
15.2	0.000001	0.000008
15.4	0	0.000006
15.6	0	0.000005
15.8	0	0.000004
16	0	0.000004
16.2	0	0.000003
16.4	0	0.000002
16.6	0	0.000002
16.8	0	0.000002
17	0	0.000001
17.2	0	0.000001
17.4	0	0.000001
17.6	0	0.000001
17.8	0	0.000001
18	0	0.000001
18.2	0	0
18.4	0	0
18.6	0	0
18.8	0	0
19	0	0
19.2	0	0
19.4	0	0
19.6	0	0
19.8	0	0
20	0	0

Distances in Bohr radii (a = a₀ = 1). The overall sign is a phase convention; (r·R)² is sign independent.

हाइड्रोजन रेडियल वेवफंक्शन कैलकुलेटर क्या है?

यह टूल किसी हाइड्रोजन-सदृश (एक-इलेक्ट्रॉन वाले) परमाणु के सामान्यीकृत रेडियल वेवफंक्शन R(r) की गणना करता है — यानी इलेक्ट्रॉन वेवफंक्शन का वह हिस्सा जो केवल नाभिक से दूरी r पर निर्भर करता है। यह r·R(r) भी देता है, क्योंकि रेडियल प्रायिकता घनत्व (r·R(r))² के समानुपाती होता है। यह शुद्ध क्वांटम यांत्रिकी है और सार्वभौमिक रूप से लागू होती है। दूरियाँ बोर त्रिज्या में मापी जाती हैं (\(a = a_0 = 1\))।

कई अवस्थाओं के लिए रेडियल तरंग फलन R(r), जो दर्शाता है कि क्वांटम संख्याओं के साथ नोड कैसे बढ़ते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

परमाणु क्रमांक Z चुनें (हाइड्रोजन Z=1 या हीलियम आयन He+ Z=2), प्रमुख क्वांटम संख्या n (1, 2, 3, ...) और दिगंशीय क्वांटम संख्या l (0 से n−1 तक) दर्ज करें। फिर प्रारंभिक त्रिज्या, चरण आकार और बिंदुओं की संख्या तय करें ताकि एक ऐसी तालिका बन सके जिसका ग्राफ बनाया जा सके।

सूत्र

विमारहित चर \(\rho = \frac{2Zr}{na}\) और \(a = 1\) के साथ, सामान्यीकृत रेडियल वेवफंक्शन इस प्रकार है:

$$R_{n,l}(r) = N\,e^{-\rho/2}\,\rho^{l}\,L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$$

जहाँ सामान्यीकरण स्थिरांक

$$N = \sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^{3}\frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}}$$

है। संबद्ध लाग्रांज (Laguerre) बहुपद के लिए \(L_p^q(x) = \sum (-1)^i \binom{p+q}{p-i} \frac{x^i}{i!}\) का उपयोग किया जाता है।

R(r) बनाम r·R(r): बाद वाला मूल बिंदु पर शून्य हो जाता है और मध्यवर्ती त्रिज्या पर शिखर पर पहुँचता है।

हल किया गया उदाहरण

Z=1, n=2, l=0 (2s कक्षक) के लिए:

$$R_{2,0}(r) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2 - r)\,e^{-r/2}$$

\(r=0\) पर, \(R = \frac{1}{2.828427}\cdot 2 = 0.707107\)। \(r=2\) पर एक रेडियल नोड होता है जहाँ \(R=0\)। यह कैलकुलेटर के परिणाम से मेल खाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

कभी-कभी आगे ऋण चिह्न (माइनस) क्यों आ जाता है? समग्र चिह्न एक फेज़ परंपरा है जिसका कोई भौतिक अर्थ नहीं होता; \((r\cdot R)^2\) चिह्न पर निर्भर नहीं करता।

\(l\ge 1\) के लिए R(0)=0 क्यों होता है? क्योंकि \(l\ge 1\) होने पर \(r=0\) पर \(\rho^l = 0\) हो जाता है।

R(r) की इकाई क्या होती है? \(a_0^{-3/2}\), क्योंकि वेवफंक्शन को बोर त्रिज्या में मापी गई त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर सामान्यीकृत किया जाता है।