हाइड्रोजन रेडियल वेवफंक्शन कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी हाइड्रोजन-सदृश (एक-इलेक्ट्रॉन वाले) परमाणु के सामान्यीकृत रेडियल वेवफंक्शन R(r) की गणना करता है — यानी इलेक्ट्रॉन वेवफंक्शन का वह हिस्सा जो केवल नाभिक से दूरी r पर निर्भर करता है। यह r·R(r) भी देता है, क्योंकि रेडियल प्रायिकता घनत्व (r·R(r))² के समानुपाती होता है। यह शुद्ध क्वांटम यांत्रिकी है और सार्वभौमिक रूप से लागू होती है। दूरियाँ बोर त्रिज्या में मापी जाती हैं (\(a = a_0 = 1\))।
इसका उपयोग कैसे करें
परमाणु क्रमांक Z चुनें (हाइड्रोजन Z=1 या हीलियम आयन He+ Z=2), प्रमुख क्वांटम संख्या n (1, 2, 3, ...) और दिगंशीय क्वांटम संख्या l (0 से n−1 तक) दर्ज करें। फिर प्रारंभिक त्रिज्या, चरण आकार और बिंदुओं की संख्या तय करें ताकि एक ऐसी तालिका बन सके जिसका ग्राफ बनाया जा सके।
सूत्र
विमारहित चर \(\rho = \frac{2Zr}{na}\) और \(a = 1\) के साथ, सामान्यीकृत रेडियल वेवफंक्शन इस प्रकार है:
$$R_{n,l}(r) = N\,e^{-\rho/2}\,\rho^{l}\,L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$$जहाँ सामान्यीकरण स्थिरांक
$$N = \sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^{3}\frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}}$$है। संबद्ध लाग्रांज (Laguerre) बहुपद के लिए \(L_p^q(x) = \sum (-1)^i \binom{p+q}{p-i} \frac{x^i}{i!}\) का उपयोग किया जाता है।
हल किया गया उदाहरण
Z=1, n=2, l=0 (2s कक्षक) के लिए:
$$R_{2,0}(r) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2 - r)\,e^{-r/2}$$\(r=0\) पर, \(R = \frac{1}{2.828427}\cdot 2 = 0.707107\)। \(r=2\) पर एक रेडियल नोड होता है जहाँ \(R=0\)। यह कैलकुलेटर के परिणाम से मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
कभी-कभी आगे ऋण चिह्न (माइनस) क्यों आ जाता है? समग्र चिह्न एक फेज़ परंपरा है जिसका कोई भौतिक अर्थ नहीं होता; \((r\cdot R)^2\) चिह्न पर निर्भर नहीं करता।
\(l\ge 1\) के लिए R(0)=0 क्यों होता है? क्योंकि \(l\ge 1\) होने पर \(r=0\) पर \(\rho^l = 0\) हो जाता है।
R(r) की इकाई क्या होती है? \(a_0^{-3/2}\), क्योंकि वेवफंक्शन को बोर त्रिज्या में मापी गई त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर सामान्यीकृत किया जाता है।
