Что такое калькулятор радиальной волновой функции водорода?
Этот инструмент вычисляет нормированную радиальную волновую функцию R(r) водородоподобного (одноэлектронного) атома — ту часть волновой функции электрона, которая зависит только от расстояния r до ядра. Он также возвращает величину r·R(r), поскольку радиальная плотность вероятности пропорциональна (r·R(r))². Это чистая квантовая механика, и расчёт применим повсеместно. Расстояния измеряются в боровских радиусах (\(a = a_0 = 1\)).
Как пользоваться калькулятором
Выберите зарядовое число Z (водород Z=1 или ион гелия He+ Z=2), введите главное квантовое число n (1, 2, 3, ...) и орбитальное (азимутальное) квантовое число l (от 0 до n−1). Затем задайте начальное значение радиуса, шаг и количество точек, чтобы построить таблицу для последующего графика.
Формула
С безразмерной переменной \(\rho = \frac{2Zr}{na}\) и \(a = 1\) нормированная радиальная волновая функция имеет вид
$$R_{n,l}(r) = N\,e^{-\rho/2}\,\rho^{\,l}\,L_{n-l-1}^{\,2l+1}(\rho)$$где нормировочная постоянная
$$N = \sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^{3}\frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}}$$Присоединённый полином Лагерра определяется как
$$L_p^q(x) = \sum (-1)^i \binom{p+q}{p-i} \frac{x^i}{i!}.$$
Разбор примера
Для Z=1, n=2, l=0 (орбиталь 2s):
$$R_{2,0}(r) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2 - r)\,e^{-r/2}.$$При r=0 получаем \(R = \frac{1}{2.828427}\cdot 2 = 0.707107\). При r=2 находится радиальный узел, где R=0. Эти значения совпадают с выводом калькулятора.
Частые вопросы
Почему иногда появляется знак минус впереди? Общий знак — это вопрос выбора фазы и не имеет физического смысла; величина \((r\cdot R)^2\) от знака не зависит.
Почему R(0)=0 при l≥1? Потому что при \(l \ge 1\) множитель \(\rho^l\) обращается в ноль при r=0.
В каких единицах измеряется R(r)? В \(a_0^{-3/2}\), поскольку волновая функция нормирована в трёхмерном пространстве, измеряемом в боровских радиусах.
