Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет волновую функцию электрона в связанном состоянии водородоподобного атома — точное решение стационарного уравнения Шрёдингера для одного электрона, движущегося вокруг точечного ядра с зарядом Z. Полная волновая функция разделяется на радиальную и угловую части: $$\Psi(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\cdot Y_l^m(\theta,\phi)$$ Расчёт работает для водорода (\(Z = 1\)) и иона He⁺ (\(Z = 2\)). Расстояния выражаются в боровских радиусах (\(a = 1\)), поэтому \(\Psi\) получается в атомных единицах вида \(a^{-3/2}\).
Как пользоваться
Выберите заряд ядра \(Z\), затем задайте три квантовых числа: главное квантовое число \(n\) (1, 2, 3, …), орбитальное квантовое число \(l\) (от 0 до \(n-1\)) и магнитное квантовое число \(m\) (от \(-l\) до \(+l\)). Наконец, укажите точку пространства, в которой нужно вычислить волновую функцию: радиальное расстояние \(r\) в боровских радиусах, полярный угол \(\theta\) в градусах (от 0 до 180) и азимутальный угол \(\phi\) в градусах (от 0 до 360). Калькулятор выдаёт модуль, действительную и мнимую части \(\Psi\), а также произведение \(r\cdot\Psi\) — удобное для визуализации радиальной плотности.
Разбор формулы
Радиальная функция \(R_{nl}(r)\) складывается из нормировочного множителя, затухающей экспоненты \(e^{-Zr/(na)}\), степенного множителя \(\rho^l\), где \(\rho = 2Zr/(na)\), и присоединённого полинома Лагерра \(L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)\), вычисляемого как конечная сумма. Угловая функция \(Y_l^m\) строится из присоединённой функции Лежандра \(P_l^m(\cos\theta)\) и комплексной фазы \(e^{im\phi}\). При \(m = 0\) результат строго действительный; при \(m \neq 0\) он несёт фазу, поэтому мы выводим действительную часть, мнимую часть и модуль. Обратите внимание: квадрат модуля \(|\Psi|^2\) (плотность вероятности) от \(\phi\) не зависит.
Пример расчёта (основное состояние 1s)
Зададим \(Z = 1\), \(n = 1\), \(l = 0\), \(m = 0\), \(r = 1\), \(\theta = 0\), \(\phi = 0\). Тогда \(\rho = 2\), радиальный предмножитель равен $$\sqrt{\frac{8\cdot 1}{2\cdot 1}} = 2$$ (со знаком минус впереди, \(-2\)), \(e^{-1} = 0{,}367879\), полином Лагерра \(L_0^1(2) = 1\), так что \(R_{10}(1) = -0{,}735759\). Сферическая гармоника $$Y_0^0 = \sqrt{\frac{1}{4\pi}} = 0{,}282095$$ После перемножения получаем \(\Psi = -0{,}207538\), модуль равен \(0{,}207538\) — это совпадает с табличным значением 1s-состояния \((1/\sqrt{\pi})\cdot e^{-r}\) при \(r = 1\).
Частые вопросы
Почему результат иногда отрицательный? Калькулятор использует распространённое соглашение, при котором перед \(R_{nl}\) стоит знак минус. На физически наблюдаемые величины, такие как \(|\Psi|^2\), общий знак не влияет.
В каких единицах измеряется \(\Psi\)? При боровском радиусе \(a = 1\) величина \(\Psi\) выражается в единицах \(a^{-3/2}\). Чтобы получить значения в системе СИ, умножьте \(r\) на \(a_0 = 5{,}29177\cdot 10^{-11}\ \text{м}\) и масштабируйте \(\Psi\) на \(a_0^{-3/2}\).
Почему состояние с большим \(l\) обращается в ноль при \(r = 0\)? Множитель \(\rho^l\) делает \(R_{nl}\) нулём в начале координат всегда, когда \(l > 0\); только s-состояния (\(l = 0\)) имеют ненулевую плотность на ядре.
